3784497995

Strategie wygrywające w grach 5

Pokażemy, że Bolek może wygrać, ale zrobimy to nie wskazując konkretnego pierwszego ruchu, prowadzącego do zwycięstwa. Kluczowe jest, że żeton z numerem jeden zawsze będzie usunięty w pierwszym ruchu. Rozważmy dwa przypadki:

1.    Pozycja, w której na stole są żetony 2,3,4,5,6,7,8,9 jest przegrywająca. W tej sytuacji Bolek usuwa żeton 1, zostawiając Lolkowi pozycję przegrywającą.

2.    Pozycja, w której na stole są żetony 2,3,4,5,6,7,8,9 jest wygrywająca. Załóżmy, że zwycięskim ruchem jest usunięcie żetonu z liczbą n. Znaczy to, że po usunięciu tego żetonu (oraz żetonów z dzielnikami n) mamy pozycję przegrywającą. Wtedy Bolek w pierwszym swoim ruchu usuwa żetony z liczbą n oraz jej dzielnikami (wśród nich 1), zostawiając Lolkowi pozycję przegrywającą.

W ramach ciekawostki: pierwszym ruchem w wygrywającej strategii jest zabranie żetonu z liczbą 2. Ale uzasadnienie tego jest już znacznie trudniejsze.

Zadanie 4. Na stole leży 9 żetonów z numerami od 1 do 9. Ruch polega na wzięciu dowolnego żetonu. Wygrywa osoba, która jako pierwsza ma trzy żetony o sumie liczb 15.

Uwaga: możliwe jest, że gra zakończy się remisem (tzn. żaden z graczy nie zbierze żetonów o sumie liczb 15/ Wobec tego możliwe, że żaden z graczy nie ma strategii wygrywającej. Trzeba uwzględnić to w rozumowaniu i odpowiedzi.

Rozwiązanie

Oczywiście gra zakończy się po co najwyżej 9 ruchach.

6	7	2
1	5	9
8	3	4

Rysunek 1

Wykażemy, że przy optymalnej strategii pojedynek zakończy się remisem, tzn. żaden z graczy nie ma strategii wygrywającej. Dobrym pomysłem jest zinterpretowanie stwierdzenia „trzy żetony o sumie liczb 15”. Ułóżmy liczby 1,... ,9 w kwadrat magiczny 3x3, jak na rysunku 1.

Wtedy 15 to suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na każdej przekątnej. Co więcej, są to jedyne trójki liczb sumujące się do 15. Zadanie redukuje się do pokazania, że każdy z graczy może wywalczyć przynajmniej remis w grze w „kółko i krzyżyk”. Pozostawiamy ten problem Czytelnikowi.