METROLOGIA Poznawanie otaczaj�cego nas �wiata umo�liwiaj� nam obserwacje zachodz�cych zjawisk, kt�re realizujemy za pomoc� naszych zmys��w. Wyniki obserwacji maj� charakter subiektywny i nie s� one praktycznie powtarzalne nawet, gdy dane zjawisko b�dzie obserwowa� ten sam obserwator Informacje uzyskane z obserwacji maj� charakter jako�ciowy (1 przedmiot cieplejszy od 2), jego rodzaju obserwacje nie mog� by� wykorzystywane w technice i badaniach naukowych. Do tych cel�w konieczne jest wykonywanie obiektywnych do�wiadcze� maj�cych charakter ilo�ciowy (okre�lane s� warto�ci danej wielko�ci) do�wiadczeniami takimi s� pomiary. Pomiarem nazywamy operacj� por�wnywania warto�ci badanej wielko�ci i warto�ci� innej wielko�ci tego samego, kt�r� przyj�to powszechnie za jednostk� miary lub z odpowiedni� obowi�zuj�c� skal� W procesie pomiarowym po wykonaniu odpowiednich czynno�ci przy u�yciu odpowiednich �rodk�w stwierdzamy, �e wynik znajduje si� w przedziale: a

b Powy�sze stwierdzenie nazywa si� wynikiem pomiaru. Wed�ug PNE 71/N-02050 pomiarem nazywamy czynno�ci do�wiadczalne maj�ce na celu wyznaczenie warto�ci wielko�ci zmierzonej wyra�onej iloczynem liczby i jednostki. X-zbi�r wielko�ci zmierzonych W-zbi�r wielko�ci wzorcowych W pomiarze bior� udzia� dwa zbiory wielko�ci � Zbi�r W wielko�ci w � Zbi�r X wielko�ci x Matematyczny model pomiaru Wielko�� mierzona stanowi zbi�r sko�czony ograniczony o g�ry i od do�u Zak�ada si�, �e zbi�r W stanowi zbi�r sko�czony, kolejne elementy oraz r�ni� si� mi�dzy sob� o warto�ci: 2 0 Czynno�ci pomiarowe s� w modelu matematycznym r�wnowa�nie przyporz�dkowaniu element�w �x� zbioru �X� elementom �w� ze zbioru �W� o tej samej warto�ci. Poniewa� jednak zbi�r W jest dyskretny (sko�czona liczba element�w) tak, wi�c przyporz�dkowanie nie mo�e by� jednoznaczne, dlatego wynikiem pomiaru jest nier�wno��:    Mog� istnie� zbiory tej samej wielko�ci o r�nych warto�ciach 2 0 Nie istnieje zbi�r, dla kt�rego 0 Za�o�enie jest podstawowym postulatem metrologii.  Przyj�to, i� wielko�ci� jest lub mo�e by� ka�da w�a�ciwo�� materii lub zjawiska, kt�ra jest jednoznacznie zdefiniowana przez okre�lenie danej w�a�ciwo�ci oraz okre�lenie danej jednostki miary. Jednostk� miary wielko�ci jest umownie przej�ta za jedno�� warto�� danej wielko�ci. Wzorce jednostek i miar powinny spe�nia� nast�puj�ce warunki: � Niezmienno�� w czasie � �atwo�� por�wnywania � �atwo�� odtwarzania � �atwo�� stosowania � Du�a dok�adno�� Gdyby warunek niezmienno�ci by� ca�kowicie spe�niony to warto�� wzorca by�aby r�wna: W=A=constans Warto�� niezmienna w czasie nie wyst�puje z tego wynika X=A+f(t) Do�wiadczalnie mo�na udowodni�, i� w okre�lonych warunkach i okre�lonym czasie spe�niona jest nier�wno�� |f(t)|max
.W W = A �.W Miar� wzorca okre�laj� obydwa sk�adniki: � A � nominalna miara wzorca � .W � niedok�adno�� miary wzorca HIERARCHIA WZORC�W Wzorcami o najwi�kszej dok�adno�ci s� etalony, przeznaczone do przekazywania jednostki miary danej wielko�ci innym wzorcom. 1. Etalon podstawowy � charakteryzuje si� najwi�ksz� dok�adno�ci�, cz�sto jest wzorcem grupowym. Przechowywany jest w g��wnym urz�dzie miar w Warszawie 2. Etalon �wiadek � przeznaczony do kontroli sta�o�ci warto�ci etanolu podstawowego. Ma takie same parametry jak parametry etanolu podstawowego. 3. Etanol odniesienia � ich miar� wyznacza si� przez por�wnanie z wzorcem podstawowym, s�u�� one do etalon�w kontrolnych 4. Etalony kontrolne � przeznaczone do okre�lonych por�wna� z nimi wzorc�w u�ytkowych 5. Wzorce u�ytkowe � uczestnicz� bezpo�rednio w procesach pomiarowych Spos�b i okresy sprawdzania wzorc�w lub jednostek miar s� obj�te odpowiednimi przepisami prawnymi. Do bezpo�redniego wykonania pomiar�w s� przeznaczone przyrz�dy pomiarowe. PRZYRZ�DY ANALOGOWE I CYFROWE Istniej� przyrz�dy pomiarowe, kt�rych wskazania tworz� zbi�r dyskretny w �cis�ym znaczeniu tego s�owa, s� to przyrz�dy cyfrowe. W przyrz�dach pomiarowych analogowych miar� warto�ci wielokrotno�ci okre�la po�o�enie wskaz�wki wzgl�dem podzia�ki, kt�ra jest zbiorem niesko�czonym, a wskaz�wka wyznacza jeden element tego zbioru. Praktycznie mo�na zbi�r warto�ci wielko�ci wzorcowej (odwzorowany na podzia�ce przyrz�du analogowego) uwa�a� za zbi�r dyskretny  B��DY I NIEPEWNO�� POMIARU Wykonuj�c pomiary pope�niamy zawsze jakie� b��dy, kt�re nale�y zawsze w�a�ciwie okre�li� �warto�� zmierzona wielko�ci �warto�� prawdziwa wielko�ci B��d pomiarowy bezwzgl�dny wynosi: . B��d pomiarowy wzgl�dny wynosi: .. Wyst�powanie rozbie�no�ci mi�dzy warto�ci� mierzon� i prawdziw� jest nieod��czn� w�a�ciwo�ci� pomiar�w, poniewa� pomiar zawsze jest niedok�adny. Jako kompletny wynik pomiar�w nale�y zawsze poda� oraz miar� rozbie�no�ci mi�dzy a  Warto�� prawdziwa jest i pozostanie nieznana i niepoznawalna, wi�c r�wnie� b��d prawdziwy b�dzie zawsze nieznany, jednak�e dzi�ki poj�ciu b��du prawdziwego mo�na zdefiniowa� poj�cie b��du granicznego (maksymalnego) B��d graniczny mo�na okre�li� dwojako, zale�nie od przyj�tego modelu matematycznego �r�de� niedok�adno�ci pomiaru. W klasycznej teorii b��d�w przyjmuje si�, i� b��d prawdziwy ma dwie sk�adowe: 1. B��d systematyczno�ci � sk�adowa ca�kowitego b��du prawdziwego, kt�ra w procesie systematycznego pomiaru pozostaje sta�a lub zmienia si� w przewidywalny spos�b. Model matematyczny b��du systematycznego jest modelem zdeterminowanym 2. B��d przypadkowy � sk�adowa ca�kowitego b��du prawdziwego, kt�ra w procesie powtarzania pomiaru zmienia si� w spos�b niedaj�cy si� przewidzie�. a. B��d przypadkowy wynika z nieprzewidywalnych czasowych i przestrzennych zmian wielko�ci. B��du przypadkowego nie mo�na skompensowa� poprawk�, ale mo�na go zmniejszy� powielaj�c pomiar. b. Matematyczny model b��du przypadkowego opiera si� o za�o�enie, i� sk�adowa przypadkowa b��du przypadkowego, chocia� nieznana, mo�e by� modelowana zmienn� losow�. Ze wzgl�du na powy�sze rozr�nienie poj�cia b��d graniczny: 1. Dla deterministycznego modelu niedok�adno�ci pomiaru b��d graniczny jest po�ow� szeroko�ci przedzia�u najwi�kszego jaki mo�na przedstawi� wok� warto�ci niezmiennej , w kt�rej mie�ci si� warto�� warto�ci mierzonej: . 

.�. Przedzia�owa interpretacja niedok�adno�ci. W przedziale niepewno�ci wyniku pomiaru znajduje si� nieznana warto�� powierzchniowa . Dla losowego pomiaru niedok�adno�ci b��d graniczny jest po�ow�. Dla modelu modelu losowego niedok�adno�ci pomiaru, przedzia� niepewno�ci X(x) staje si� przedzia�em losowym (jego granice s� zmiennymi losowymi) . p-przedzia� ufno�ci (prawdopodobie�stwa) Przy powtarzaniu pomiaru m-krotnie otrzymujemy �m� przedzia��w niepewno�ci i wi�cej ni� p*m przedzia��w powinno obejmowa� warto�� prawdziw�  B��d pomiaru w warunkach odniesienie nazywamy b��dem podstawowym. Dopuszczalna warto�� b��du bezwzgl�dnego podstawowego jest liczbowo r�wna wska�nikowi klasy dok�adno�ci miernika. KLASA DOK�ADNO�CI .*100% .� b��d graniczny � zakres przyrz�du na kt�rym jest wykonywany pomiar Przyk�ad 1. Wyznaczy� b��d graniczny woltomierza o klasie 0,5 i zakresie napi�ciowym 300V. Dane: =300V 0,5 Obliczenia: * .= 1,5 % Dla: 250 B��d wzgl�dny wynosi: . .,0,006 Dla miernik�w cyfrowych wyst�puj� b��dy cyfrowe kwantowania i zliczania, oraz b��dy analogowe. B��d ca�kowity przyrz�du cyfrowego jest r�wny sumie b��d�w cyfrowych i analogowych: .�.�. Sposoby wyznaczania b��du granicznego pomiaru wielko�ci z�o�onej ,,�.,. I. Dla deterministycznego modelu niedok�adno�ci 1. Metoda najbardziej niekorzystnego roz�o�enia b��d�w:  ... 2. Metoda losowego roz�o�enia b��d�w .3.. II. Dla losowego modelu niedok�adno�ci (seria M-wynik�w pomiaru). ...; .= ..*3..; .. Przyk�ad2 Pr�d o nat�eniu I=10A okre�lony b��dem �0,5% p�ynie przez rezystor 50�1.. Wyznaczy� moc wydzielan� na rezystorze oraz b��d wzgl�dy i bezwzgl�dny Dane: 10.�0,5% R = (50�1..=1 Szukane: ?;?; .=? ; Obliczenia: 100*50.5000 .R= ..2..2*10*50.*0,05100*1.150 .0,0333% .? 2 2 Zak�adamy �e dP ., dI ., dR . .2.. .2.. 2  Przyk�ad3 Stosuj�c metod� logarytmiczn� obliczy� b��d graniczny zwi�zany z wielko�ciami A B C D E F poni�sz� funkcj� *** . *. Obliczenia: 1326514 .*.2.+ .6.5.*.265 Przyk�ad 4 Uwzgl�dniaj�c, �e metod� logarytmiczn� mo�na stosowa� do obliczania b��d�w przy prostych zale�no�ciach funkcjonalnych nawet wtedy gdy wyst�puj� w nich sumy lub r�nice. lnY=ln(a+b) -ln(C) ... ... . . ..**. y=  Przyk�ad 5. Dwa rezystory o warto�ciach 600�1.i 400�1.po��czono r�wnolegle. Obliczy� rezystancj� zast�pcz� oraz b��d graniczny w wzgl�dny i bezwzgl�dny. Szukane: Rw = ||?; ?;.?; Obliczenia: * 240.(w podstawieniu przyjmujemy warto�ci nominalne) Ln( w)lnln�ln(liczymy metod� logarytm�w) w... w..........0,0061  Przyk�ad 6. Trzy rezystory po��czone szeregowo o warto�ciach: 1000�1., 50.gdzie �0,5%oraz szukane: ?; .?; w?50.gdzie �2% obliczenia: =  . w. =1054 . ..� ...**1.50.*0,0054.*0,02 Przyk�ad 7. W celu wyznaczenia rezystancji w�a�ciwej drutu oporowego Dane: 1.�0,5..; 4..�0,01..; ; 0,1�0,01. szukane: . = ?; ..?; .?; Obliczenia: ...... .� .2dRl d,0,0025 l*.5*10 R,,0,1 .0,005 + 5*10 ...*. +0,1 = Przyk�ad 8. dane: 1; szukane: .U?, 400 U? Obliczenia: ..*100% *% .U%*..%4 U.. U 400V 200V 100V 50V 25V 5V U0,01 0,02 0,04 0,08 0,16 0,8  Przyk�ad 9. Do pomiaru napi�cia 12V mo�na by�o u�y� dw�ch woltomierzy, pierwszy by� klasy 0,5 o zakresie 60V, a drugi by� woltomierzem tablicowym klasy 1,5 o zakresie 15V. Kt�ry z woltomierzy jest lepszy do pomiaru? Obliczenia: ..*100% *..*,% .U%0,3 % *..*,% .U%0,225 % U..,2,5% U..,1,875% Przyk�ad 10. Pomiar indukcji w szczelinie powietrznej magnesu dokonano 7 krotnie z pomoc� teslomierza halofreonowego (?). Wynik pomiar�w po uwzgl�dnieniu poprawek na b��d systematyczny by�y nast�puj�ce. Obliczy� indukcj� w szczelinie i b��d przypadkowy pomiaru: Wyniki pomiar�w: [396, 400, 396, 399, 405, 407, 404] mT Obliczenia: .401.c(�rednia pomiar�w) *.L7 .B1,66.c � Uwzgl�dniaj�c rozk�ad Studenta (Gosset) ��1,9*1,66.c3.c Przyk�ad 11. Z jakim dopuszczalnym b��dem nale�y mierzy� pr�d p�yn�cy przez rezystor o warto�ci wyznaczonej z tolerancj� �0,2% Je�eli spadek napi�cia na tym rezystorze ma by� �0,5% dane: U=I * R R�0,2% U�0,5% szukane: I? Obliczenia: ... UIR  IUR I0,5%0,2%�0,3% PODSTAWOWE POJ�CIA TEORII NIEPEWNO�CI 1. Przyjmijmy losowy model niedok�adno�ci Niepewno�� pomiaru � parametr zwi�zany z wynikiem pomiaru kt�ry charakteryzuje rozrzut warto�ci, kt�re mo�na w uzasadniony spos�b przypisa� warto�ci zmierzonej Warto�� prawid�owa jest r�wna warto�ci oczekiwanej zmiennej losowej.  W praktyce pos�ugujemy si� przybli�eniem(estymat�) warto�ci oczekiwanej tzn. �redni� arytmetyczn� obliczon� dla n-wynik�w pomiar�w. (Warto�� oczekiwana mo�e by� obliczona dla liczby wynik�w pomiar�w �.) Niedok�adno�� pomiaru opisuje parametr zwany niepewno�ci�: Niepewno�� dzieli si� na dwa typy: � Niepewno�� obliczon� metod� A (za pomoc� metod statystycznych) � Niepewno�� obliczona metod� B (za pomoc� innych metod np. w oparciu o klas� przyrz�du) Niedok�adno�� pomiaru charakteryzuje niepewno�� sta�a standardowa U(x)=s(x) � Ekstrymata odchylenia standardowego U(x) = s(x).� Niepewno�� rozszerzona U(x)=k(p)U(x) p � poziom ufno�ci (prawdopodobie�stwo) k(p) � wsp�czynnik rozszerzenia (wsp�czynnik rozszerzenia mo�e by� 2 lub 3) P[U

U] Je�eli: k(p) = 3 to => p=0,99; k(p) = 2 to => p=0,95; k(p) = 1 to => p=0,68; Niepewno�� ��czona (wypadkowa) Pomiary po�rednie (wielko�� z�o�ona) .����� dla wielko�ci nieskorelowane ? NIEPEWNO�C TYPU B  ..dla rozk�adu jednostajnego b��du przyrz�du NIEPEWNO�C TYPU A . . �.