3818438320

Kinematyka punktu

Zadanie 1

Wyznaczyć równanie tom punktu, gdy x = hcos2<at, y = hcoscat. h[m], w[l/s] — stałe, t[s] — czas.

Ze wzom trygonometrycznego: cos2(0t = cos²C0t — sin²fflt z „1 — ki" trygonometrycznej: sin²(0t + cos²(at = 1 -* sin²(0t = 1 — cos²(at czyii: cos2(0t = cos²C0t — (1 — cos²C0t) = 2cos²G3t — 1 ->■ x = h(2cos²QJt — 1)

y    v²

y = hcos(Qt -*• cosCOt =— -*• cosCOt =y-y i podstawiamy do wzom na x;

y²

x = h(2    — 1) — równanie tom.

a

Zadanie la

Równanie mchu punktu A ma postać: x(t) = t³ — źt² — 4t + 10; x[m], t[s]. Wyznaczyć położenie punktu na osi x i jego przyspieszenie w chwili, gdy jego prędkość V = 0[m/s].

,„ dx ,

V=-- = 3t?-4t-4 dt

V = 0

3t² — 4t — 4 = 0 , A = (-4)² — 4-3-(—4) = 64 - Va=8

t

^^ = 2[s] lub t

4-8

6

Oczywiście przyjmujemy pierwszą odpowiedź i liczymy ^xl, ^xL^s⁼ 2³ —2-2² —4-2 + 10 = 2 [m].

Zadanie 2

Z danych równań ruchu punktu; x = (1/2 jt², y = (l/3)tr⁵, wyprowadzić równanie tom i narysować go oraz wyznaczyć równanie ruchu punktu po torze (równanie drogi), licząc drogę od początku położenia punktu.

Podnosimy obustronnie do potęgi trzeciej równanie x(t), a równanie y(t) do potęgi drugiej:

x³=-t\ y² = —t⁶

8    9

Dzieląc jedno równanie przez drugie, bądź wyliczając z jednego t⁶ i podstawiając do drugiego eliminujemy czas i otrzymujemy równanie tom — y(x):

2    8    3    2^2 r

V = —X -» y =-x²

9    ^y 8

Równanie mchu punktu po torze (równanie drogi): s = Jvdr + c V — prędkość punktu, C — stała zależna od położenia początkowego