3818438738

Rezonans w szeregowym obwodzie RLC.

I. Wstęp teoretyczny.

Poszczególne elementy układu: opornik R, kondensator C oraz cewka indukcyjna L włączone są do źródła prądu zmiennego o napięciu U[t) = £/₀cosfl) / (rys. 1).

Rys. 1. Schemat układu do pomiaru częstości rezonansowej w układzie szeregowym RLC.

Suma sił elektromotorycznych w obwodzie powinna równać się sumie spadków napięć na elementach układu:

CAcosfij t - L— - —f idt + Ri.    (1)

dt Cⁱ    w

gdzie i = i₀coĄ§t- p) _a 9 -przesunięcie fazowe prądu względem napięcia.

Po obustronnym zróżniczkowaniu równania (1) otrzymuje się równanie różniczkowe niejednorodne oscylatora harmonicznego tłumionego:

-0 U_osin(0t= L-^4+R—+-.    (2)

dt² dt C

Należy poszukać rozwiązania tego równania w postaci sumy rozwiązań: rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Ponieważ jednak rozwiązanie ogólne szybko zanika (patrz oscylator harmoniczny tłumiony) pozostaje zająć się tylko rozwiązaniem szczególnym. Szukamy rozwiązania szczególnego w postaci i = i₀cos(ffl / -p). Po podstawieniu tego wyrażenia do (1) otrzymujemy równanie:

£/_ocos0 / = -Lto i₀sin(ffl t- ę ) + -^-sinfffl /- p) + /?i_ocos(0 /- p ).    (3)

(0 C

Po skorzystaniu z odpowiednich wzorów trygonometrycznych grupujemy wyrazy z sino t i cosffl t;

1

r    ¹ )

La + — aC

cosp + Rsinp

suu»/ +

La

a c

sini)) + i?cosp

cosb % = U₀ cos© t (4)

Aby równanie to spełniało się tożsamościowo (dla dowolnych t) powinny być spełnione dwa warunki:

Lat +

fflC

Lta

cosp + R sinp

1 \

fflC

*o=0.

sinf + R cosp

k~-u_a.

Podnosząc oba równania do kwadratu i dodając stronami otrzymuje się:

(6)

(5)