4672948907

VII. Funkcja liniowa

Funkcją liniową nazywamy funkcję .v -> y = «.v + b. x € R. gdzie x jest argumentem funkcji, a jest współczynnikiem kierunkowym, h wyrazem wolnym.

Wykresem funkcji x -> y = ax + b, x e R. jest linia prosta nachylona do osi OX pod takim kątem a. takim że tg a = a. Prosta ta przecina oś OY w punkcie, którego rzędna równa się b.

Jeżeli dwie proste /: y = a_tx + b_t

k: y = a_r\ + b_}

są równolegle, to współczynniki kierunkowe tych prostych są równe

Proste:    /: y = a_tx + />,

k: y = a_y\ + b_}

są prostopadle wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:    • a_} = -1

11 k o a_t •«, = -!

Punkt A    //) należy do prostej wtedy i tylko w tedy, gdy spełnia rów nanie

tej prostej.

TWIERDZENIE:

Funkcja liniowa y - ax + b. x g R jest:

•    rosnąca w R. wtedy gdy a > 0,

•    malejąca w R, wtedy gdy a < 0.

•    stała w R, wtedy gdy a = 0.

Funkcja liniowa

1. WYZNACZANIE WZORU FUNKCJI LINIOWEJ

ZADANIE 1

Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc, że:

a)    Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 2 i do jej wykresu należy punkt ✓1(5,7).

b)    Do wykresu funkcji należą punkty A(—J5,0), 5(375,16).

c)    Jej wykres jest nachylony do osi OK pod kątem 60° i dla argumentu -I przyjmuje wartość -3.

d)    Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu y = 2v + I i przechodzi przez punkt A(\. 5).

e)    Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu y = - -.v + 2 i przechodzi przez punkt B(-2,1).

Rozwiązanie:

Ad a)

f(x) = ax + b

/(2) = 2tf+ /> = 0

/(5) = 7

Wyznaczamy współczynniki a i b. Korzystamy po kolei z danych. Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji zapisujemy równanie:

5cz + ó = 7

J 2« + 6 = 0 [5</ + A> = 7 J -2a -b-0 |5« + A> = 7

=> 3c/ = 7, a

7

3’

PoniewaZ do wykresu funkcji naleZy punkt AS. 7). zatem spełnia on równanie:

UtworzyŁimy ukfad równań. Po jc^o rozwiązaniu otrzymamy szukane wspóiczyrwkj:

b = -2xi = -2

7

3

14

3

Odpowiedź    ^    ^

Szukana prosta ma równanie: y = —x - —

Ad b)

J-75-«+/> = o [375 •« + /» = 16

W tym przypadku układamy układ równań, podstawiając po kolei współrzędne danych punktów:

\b = -Jl-ct

[375-cj+75-c/ = i6 h = 72 ■ a

475■ rz = 16 zza

16    4

475 ~ 75

= 275

107