str124 (5)

124 2. FUNKCJE SPECJALNE

gdzie t jest zmienną rzeczywistą, natomiast z jest zmienną zespoloną w półpłaszczyźnie Re(z)>0.

Własność 4. Pomiędzy funkcją f Eulera i całkąf(z) zachodzi w półpłaszczyźnie R ez> — n następujący związek:

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną lub zerem.

W szczególnym przypadku z zależności (1.3) *dla z spełniających warunek Rez>0 mamy

00

(1.4)

r(z) = \e~^,t^I-¹dt.

o

Własność 5. Funkcja f(z) spełnia następujące związki:

(1.5)

(1.6)

r(z+i) = zr(z),

(1.7)

2^2l-^Jr(z)r(z+i) = V^r(2z),

(1.8)

gdzie C x 0,5772 jest stałą Eulera

(1.9)

Własność 6. Jeżeli n jest liczbą naturalną lub zerem, to słuszne są następujące zależności:

(1.10)

r(n +1) = «!,

(1.11)

W związku z powyższymi zależnościami funkcję E(z) uważa się za uogólnienie silni. Własność 7. Funkcja 1 /r (z) jest funkcją holomorficzną w całej płaszczyźnie z.

Na rysunku 2.2 przedstawiony jest wykres funkcji l/r(x), gdzie x = Re (z). Własność 8. Funkcja l/r(z) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, jedynymi miejscami zerowymi są wszystkie liczby całkowite niedodatnie z = 0, —1, —2, —3, ...

Zadania przykładowe

Zadanie 1.1. Obliczyć wartość funkcji T(i) oraz P(—i).

Rozwiązanie. Korzystamy z zależności (1.6)

r(z)r(i-z) = -

sinuz ’