Rozdział I Funkcja potęgowa, wygładnicza i logarytmiczna Zad 1 7

6.    Funkcja potęgowa

Funkcją potęgową nazywamy funkcję:

x —> y — x^m, gdzie m jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Dziedzina funkcji potęgowej zależy od wartości m.

7.    Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję: x —> y = a^x, gdzie x e R i ci jest ustaloną liczbą dodatnią.

Gdy 0 < a < 1, funkcja y = a^x jest malejąca.

Gdy a = 1, funkcja y — a^x jest stała.

Gdy a > 1, funkcja y = a^x jest rosnąca.

Gdy a > 0 i a + 1, to funkcja y = a^x jest różnowartościowa.

8.    Określenie logarytmu

Jeśli x e ^R+ i a jest ustaloną liczbą dodatnią różną od 1, to log_a.r — b o a^b — x.

9.    Funkcja logarytmiczna

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję:

x—>y = log₍₍r, gdzie x e R₊ i a jest ustaloną liczbą dodatnią różną od 1.

Funkcja logarytmiczna y — \og_(lx jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej y = ci^x.

Gdy 0 < a < 1, to funkcja y = log_f/,r jest malejąca.

Gdy ci' ^ lj to funkcja y — 1 oggx jest rosnąca.

Gdy a > 0 i a ^ 1, to funkcja y = log_ax jest różnowartościowa.

§ 1. Funkcja potęgowa —* zadania

1.    Podane liczby 12, 15, 18, 20, 32, 24, 9, 7, 19 przedstaw w postaci: ^ao+%‘2+a₂^,2²-|-a₃*2³-j-....-|-a_n*2^w, gdzie a_t-— 0 lub 1, neN i = 0,1, 2, ... , n (np. 10 = 1-2+1-2*).

2.    Zbadaj, które z podanych liczb są kwadratami liczby naturalnej:

a) o do potęgi 5³, b) 5 do potęgi 6⁷, c) 3 do potęgi 4⁵, d) 2 do potęgi 3³, e) 6 do potęgi 2³.

3. Oblicz:

2 • 3²⁰-—5 • 31⁹

a)

9⁹

b)

(3 • 2²⁰-h” • 2¹⁹) • 52

c)

25 (180 • 6⁷ — 108 • 6^{1 2})

d)

(13- 8⁴)²

(315^313). ₂o

2 1 6³ — 36⁴    ’    (3¹⁴-|- 3¹²) * 1024

4. Wykonaj wskazane działania:

(x³)²-(x⁵)³

(x⁵)'¹' (x²)³

5. Wykonaj wskazane działania: a) (—2aⁿ~¹)², b) (4m^pn^q)³,

c) (x¹¹ 1 • yⁿ

d)

ox

„3\3

(nf 21 a⁵    0 «⁴

.    4a²b³ \²

^e) 1 -nsr •

20b³ ' 126⁴

Ł)

9a¹6³    12a⁴6⁷

10 oⁱd³    5o²cl⁵

f)

i)

2 x⁴-y²

²)³,

3

6 z¹ (a²—b²)³

7

1

   Wykaż, że

a)    jeśli 0 < b < a, to a⁵ > 6⁵,

b)    jeśli a > 0 i b > 0, i a⁵ > ¥°, to a > b,

c)    jeśli a > 1, to a⁴ > a³,

d)    jeśli 0 < a < 1, to a⁵ < a²,

e)    jeśli \b\ < jaj, to a⁴ > 6⁴,

f)    Ą [(a > 1 i aⁿ > a^m) => n > m],

w, m £ JV

g)    Ą [(0 < a < 1 i > a"¹) =► n < m].

n, m £

2

   Każdą z podanych liczb przedstaw w postaci iloczynu liczby całkowitej przez potęgę liczby 10 (np. 0,12 = 12-10^-2):

a) 0,18,    b) 0,005,    c) 0,0102,    d) 0,0023,

e) 0,02, f) 0,00031,    g) 2,12,    h) 1,004.