6060119928

68 3. Zbieżność ciągu - Zbiory domknięte

3.20. Niech będzie S = {(x,y,z) € R³ : x² 4- y² -ł- z² — l} . Ustalmy a € S. Niech a-n € S\ {a}, n € N, będzie ciągiem zbieżnym do a w przestrzeni (IR¹*, ||-||₂). Udowodnij, że w przestrzeni (R³, ||-||₂) istnieje granica

O

e = hm --—,

n-oo Han - a||₂

||e||₂ = 1 i (e,a) = 0.

3.21. Niech będzie P = {(x,y,z) £ R³ : x² + y² — z = ()} . Ustalmy a = («a:,%,«z) € S. Niech On € S\ {a}, n € N, będzie ciągiem zbieżnym do a w przestrzeni (R³, ||-||₂). Udowodnij, że w przestrzeni (R³, ||-||₂) istnieje granica

On- a ll^n -«||₂’

lim n—*oc

e = (car.e^e*) =

||e||₂ = 1 i 20^62 + 2a_ye_y - a_ze_z = 0.

3.22. Dany jest ciąg x_n € C([0,1]), n € N. Zbadaj jego zbieżność w przestrzeniach (C([0,1)), IMloo), (O([0,1]), IMU) i (C([0,1)), IM|₂) (patrz przykłady 1.15-16, 1.2).

(a)    x_n (t) = £ sin nt, ł € [0,1],

(b)    x_n (t) = yjń • max {0,1 — nt) , t € [0.1],

(c)    z„(t) =

(d)    *»(*) = rfe-

3.23.    Zbadaj zbieżność ciągów

, . nt    . . nlfl _

^Xn W - l + ,l.²t²’ ^Vn W - „2_+t2> * ^{6 R}’

w przestrzeniach (BC (R), IMloo), (C(R) n L¹ (R), H-U^i), (C(R)nL²(R),||||_Łj).

3.24.    Zbadaj zbieżność ciągów

x_n (t) = - sin t, y_n (t) = i sin nt, z» (t) = Jt² +    / € [-1,1],

n    n    y n

w przestrzeniach (lapfl-l, 1] _}R), |MI_/yip) i (c¹ ((-1,1]), ||-||⁽¹⁾) (patrz zadania 1.24 i 1.28).