6830719453

Mnożenie macierzy, macierz, odwrotna, rząd macierzy

Jeżeli A = [ay] jest mxn macierzą, a B = [by] jest nxp macierzą to iloczyn AB = C =[cy] jest mxp macierzą,

11

zdefiniowaną następująco: c_tJ = ^\a_ikb^

k= i

Załóżmy, że macierz A jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera.

Macierzą odwrotną do macierzy A (ozn. A"¹) stopnia n nazywamy taką macierz kwadratową stopnia n, że AA'¹ = A'¹ A = I_n (In - macierz jednostkowa stopnia n). Macierze dla których istnieje macierz odwrotna nazywamy odwracalnymi.

Macierz odwrotną do macierzy A = [ay] można obliczyć następującą metodą:

1.    Liczymy detA. Aby istniała macierz odwrotna wyznacznik ten musi być różny od zera.

2.    Obliczamy tzw. macierz kofalctorową, zdefiniowaną następująco:    cofA = C = [ (-1 )'^+j det Ag ]

3.    Macierz odwrotna jest dana wzorem A'¹ = ( detA j'¹ C^T

Metoda ta jest dobra dla macierzy co najwyżej trzeciego stopnia. Dla macierzy wyższych stopni jest zbyt rachunkowa. Możemy wtedy znaleźć macierz odwrotną do macierzy A stopnia n w następujący sposób. Dopisujemy do macierzy A macierz jednostkową tego samego stopnia. Tworzymy więc macierz o n wierszach i 2n kolumnach. Następme na wierszach tej powiększonej macierzy dokonujemy operacji następującego typu:

. I.    do dowolnego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez liczbę

. II.    dowolny wiersz można pomnożyć przez liczbę różną od zera

. III. można przestawiać wiersze

Celem powyższych operacji jest otrzymanie po lewej stronie tej powiększonej macierzy - macierzy jednostkowej. Macierz po prawej stronie będzie wtedy macierzą odwrotną.

Minorem macierzy A = [ ay ] 1 < i < m, 1< j < n nazywamy każdy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z macierzy A przez skreślenie z niej pewnej ilości wierszy i kolumn.

Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką hczbę r, że wszystkie minory macierzy A stopnia większego mż r (jeżeli istnieją) są równe zeru i istmeje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera.

Rząd macierzy nie ulegnie zmianie jeśli na wierszach (lub kolumnach) wykonamy operacje I - III

a)

1)    Znaleźć iloczyny macierzy:

		'10 12'		'3'		'3'
'2 -2 4~ _! -1 2	•	2-113	b)	5	•[213 510 128]-	-1
		_4 1 0 -3		1		-1

[1 -2 1]

a)

2)    Znaleźć macierze odwrotne do danych

												'1	1	1	1 f
							'1	2	3	4'							'11 1 1 '
'1	2 2 '		'3	2	6'		0	1	2	3		0	1	1	1 1		1 1-1-1
2	1 -2	b)	1	1	2	c)	2	1	0	0	d)	0	0	1	1 1	e)	1-11-1
2	-2 1		2	2	5							0	0	0	1 1
							3	0	1	1							1-1-1 1
												0	0	0	0 1		^— J

3) Znaleźć macierz X spełniającą równanie:

a)	'2 7 3' 3 9 4	II *	'3 4-1' 1 3 5	b) X-	'2 2 3' 1 -1 0	—	'4-2 0' 0-12
	1 5 3		-2 1 4		-1 2 1		9 1 -3

4) Znaleźć rzędy następujących macierzy:

	1	1														'4	3	-5	2	3 '
'1			1 '		'1	3	5	-1'		"3	-1	3	2	5 '		8	6	-7	4	2
2 0	2 0	3 1	-1	b)	2	-1	-3	4	e)	5	-3	2	3	4	d)	4	3	-8	2	7
			-3		5	1	-1	7		1	-3	-5	0	-7		4	3	1	2	-5
3	3	5	-3		1	7	9	1		1	-5	1	4	1
																8	6	-1	4	-6