89692

Mnożenie macierz w macierz odwrotna, rząd macierzy

Jeżeli A = [a*] jest mxn macierzą, a B = [bij] jest nxp macierzą to iloczyn AB = C =[c*] jest mxp macierzą,

n

zdefiniowaną następująco: c_tj =

k=i

Załóżmy, że macierz A jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera.

Macierzą odwrotną do macierzy A (ozn. A *) stopnia n nazywamy taką macierz kwadratową stopnia n, że AA'¹ = A'*A = I_n (I_n - macierz jednostkowa stopnia n). Macierze dla których istnieje macierz odwrotna nazywamy odwracalnymi.

Macierz odwrotną do macierzy A = [a*] można obliczyć następującą metodą:

1.    Liczymy detA. Aby istniała macierz odwrotna wyznacznik ten musi być różny od zera.

2. Obliczamy tzw. macierz ko faktorową, zdefiniowaną następująco:    cofA = C = [ (-1 det Ajj ]

3.    Macierz odwrotna jest dana wzorem A*¹ = ( detA )'^ł C^T

Metoda ta jest dobra dla macierzy co najwyżej trzeciego stopnia. Dla macierzy wyższych stopni jest zbyt rachunkowa. Możemy wtedy znaleźć macierz odwrotną do macierzy A stopnia n w następujący sposób: Dopisujemy do macierzy A macierz jednostkową tego samego stopnia. Tworzymy więc macierz o n wierszach i 2n kolumnach. Następnie na wierszach tej powiększonej macierzy dokonujemy operacji następującego typu:

. I.    do dowolnego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez liczbę

. II. dowolny wiersz można pomnożyć przez liczbę różną od zera . III. można przestawiać wiersze

Celem powyższych operacji jest otrzymanie po lewej stronie tej powiększonej macierzy - macierzy jednostkowej. Macierz po prawej stronic będzie wtedy macierzą odwrotną.

Minorem macierzy A = [ a^ ] 1 £ i ^ m, l£ j £ n nazywamy każdy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z macierzy A przez skreślenie z niej pewnej ilości wierszy i kolumn.

Rzędem macierzy A (ozn. rz(A)) nazywamy taką liczbę r, że wszystkie minory macierzy A stopnia większego niż r (jeżeli istnieją) są równe zeru i istnieje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera.

Rząd macierzy nie ulegnie zmianie jeśli na wierszach (lub kolumnach) wykonamy operacje I - III

1) Znaleźć iloczyny macierzy:

			10 12'		3		'3'
a)	2 -2 4' 1 -1 2		2-113	b)	5	[213 510 128]-	-1
			4 1 0 -3		7		-1

i]

2) Znaleźć macierze odwrotne do danych

												1	1	1	1 f
							1	2	3	4							1111
1 2	2 '		'3	2	6		0	1	2	3		0	1	1	1 1		11-1-1
2 1	-2	b)	1	1	2	c)	2	1	0	0	d)	0	0	1	1 1	C)	1-11-1
2 -2	1		2	2	5							0	0	0	1 1
							3	0	1	1							1 -1-1 1
												0	0	0	0 1

3) Znaleźć macierz X speliuającą równanie:

"2 7 3'		'3 4 -f		'2 2 3"		"4-2 0
3 9 4	•X =	1 3 5	b) X-	1 -1 0	=	0-12
! 5 3		-21 4		-1 2 1		9 1 -3

4) Znaleźć rzędy następujących macierzy

a)

	1	1														"4	3	-5	2	3 '
1			1		"1	3	5	-\		"3	-1	3	2	5 '		8	6	-7	4	2
2	2	3 1	-1	b)	2	-1	-3	4	c)	5	-3	2	3	4	d)	4	3	-8	2	7
0	0		-3		5	1	-1	7		1	-3	-5	0	-7		4	3	1	2	-5
3	3	5	-3		1	7	9	1		7	-5	1	4	1
																8	6	-1	4	-6