7511506782

Sieregi Fouriera

1. Wielomiany i szeregi trygonometryczne:

A sin( (Ot + (p) = A sin (Ot sin <p+A cos (Ot sin (p — a sin (Ot + b cos (Ot

a cos (Ot +bsin(Ot = ^ja² +b² {

} = A(smę)cos<at + cos^3sinfiflf) = Asin(cot +(p)

a cos (Ot    b sin (01

yja² +b² y}a² + b²

T

Jf-i

=>(p: sinę>:

Ja²+b^:

r,cosę? =

Ja²+b² ) [yla²+b² )

Szereg trygonometryczny: -y- +    (o„ cos nx+6_n sin nx}, x e R

n=l

Ja²+b^:

Z Współczynniki Eulera-Fouriera:

a₀=7-J f(x)dx

²*-x

1 TT

a_n =— f(x)cosnxdx 1 ^

b_n=— f (x)sinnxdx₃n=l, 2,.,.

ⁿ-x

Szereg trygonometryczny o współczynnikach Eulera-Fouriera jest szeregiem Fouriera.

3. Charakter zbieżności szeregów Fouriera:

szukamy _a₀,a_a,b„ : ~ f(x)

TT    ^ TT    w JT

x

= 0 x x

= 0 -X

| f(x)dx=-^J dx+£ J (a_n cos nx+b_n sin nx)

cos nxdx = —sin nx

i ⁿ

sin nxdx = — cosnx

J    n

Twierdzenie Dirichłeta: Jeżeli f o okresie lit [f(x + 2ft)= f(x)] jest przedziałami monotoniczna w przedziale \—żt, 7l] i ma co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości to

jej szereg Fouriera ma sumę f(x) w każdym punkcie ciągłości i sumę

f{x_o-0)+ f(x₀ + 0)

w

każdym punkcie nieciągłości.

1