Sieregi Fouriera

1. Wielomiany i szeregi trygonometryczne:

A sin( (Ot + (p) = A sin (Ot sin <p+A cos (Ot sin (p — a sin (Ot + b cos (Ot

a cos (Ot +bsin(Ot = ^ja2 +b2 {


} = A(smę)cos<at + cos^3sinfiflf) = Asin(cot +(p)


a cos (Ot    b sin (01

yja2 +b2 y}a2 + b2

T


Jf-i


=>(p: sinę>:


Ja2+b:


r,cosę? =


Ja2+b2 ) [yla2+b2 )

Szereg trygonometryczny: -y- +    (o„ cos nx+6n sin nx}, x e R


n=l


Ja2+b:


Z Współczynniki Eulera-Fouriera:

a0=7-J f(x)dx

2*-x

1 TT

an =— f(x)cosnxdx 1 ^

bn=— f (x)sinnxdx3n=l, 2,.,.

n-x

Szereg trygonometryczny o współczynnikach Eulera-Fouriera jest szeregiem Fouriera.

3. Charakter zbieżności szeregów Fouriera:

szukamy _a0,aa,b„ : ~ f(x)

TT    ^ TT    w JT

x

= 0 x x

= 0 -X


| f(x)dx=-^J dx+£ J (an cos nx+bn sin nx)

cos nxdx = —sin nx

i n

sin nxdx = — cosnx

J    n

Twierdzenie Dirichłeta: Jeżeli f o okresie lit [f(x + 2ft)= f(x)] jest przedziałami monotoniczna w przedziale \—żt, 7l] i ma co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości to

jej szereg Fouriera ma sumę f(x) w każdym punkcie ciągłości i sumę


f{xo-0)+ f(x0 + 0)


w


każdym punkcie nieciągłości.

1