11063938˜8343794532922R23644322078576733 n

kxx

I

+ '£_śb_k sin

m

cos-

krrx

b) szeregi trygonometryczne Fouriera

i-1 i    i

|«a    IMCfWM/

Tw. Fouriera

Jeżeli funkcja f'.R\-*R jest funkcją okresową o okresie podstawowym P/=2I i

spełnia warunki Dirichleta na przedziale X = {-/,/), ogólniej X_a =(«,<? +2/), a - ustalona,

dowolna liczba rzeczywista, to jest sumÄ… swojego szeregu trygonometrycznego Fouriera na

przedziale X_a i zachodzi równość: V.v e R, f{x)- ^    a,,^cos ~t~ ⁺b„sin

2    *«i V, I    I

przy czym współczynniki szeregu wyrażają się w zorami Fulera-Fouricra:

â–  11*2/    Â«, =7 | /Wcos— clx

a_a = ~ \ f(x) dx , V neN.

(*)

ó„=0, «o =yJ/(.v)cos^<Zv

UWAGA: I) dla funkcji parzystej na przedziale (-/./), p_f = 2/

2)dla funkcji nieparzystej na przedziale (“/»/), p_f-2l\

Metodyka rozwiązywania zadania na rozwinięcie funkcji w szereg tryg. Fouriera

1)    rysunek (odpowiednie dookreÅ›lenie funkcji i zaznaczenie wartoÅ›ci dirichlctowskich w punktach nieciÄ…gÅ‚oÅ›ci); przedÅ‚użenie na R i stwierdzenie, jaki jest okres podstawowy Pf

2)    wyznaczenie / z warunku P/=2l 3) obliczanie odpowiednich współczynników (*) - caÅ‚ek z parametrem/t 4) odpowiedź 5) dodatkowo: podstawienie odpowiedniego x daje sumÄ™ szeregu liczbowego; wyznaczyć jÄ….

Przykłady:

I) Rozłożyć w szereg Fouriera funkcję f Rh* R. spełniając* warunki Dirichleta i taką. że /(x) -

|sinx|

Co otrzymamy przez

podstawienie w rozwiniÄ™ciu x -    2 ?

2) Rozłożyć w szereg Fouriera funkcję / Rh* R. mającą okres 2,t. parzystą, spełniającą warunki Dirichleta i taką. ze /(x) = -3/rx dla x e ( ~;r.0). Co otrzymamy przez podstawienie w rozwinięciu x = 0 ?

3) Rozłożyć w szereg Fouriera funkcję / Rh* R. spełniającą warunki Dirichleta i taką. że

f(x) x diaxe (0.2,t); /(x + 2t) = /(x).Vxc- R Co otrzymamy przez podstawienie w rozwiniÄ™ciu r - 2x ⁰