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196 Traraui do Thćońe doa Nombn*

de cas oii p<»ur p premier Paddition de 1’unitó au nombre triangulaire d’ordre p, rcspoetivcment la soustraction du nombre 2 donnę un nombre premier, par exemple f,4-l - 7, 1,4-1 — 29, i_h— 2 = 13. Nous dćduinms de 1’hypothtoe H les consćqucnce8 C₄., et 0_4<ł suivantes:

C_4J. II eriate une infiniU de nombrea premiera p Ula que $p(j»4-l)4-l eat un nombre premier.

Dćmonstration de Pimplication C₄-»C₄*. Posons, dans C₄, u = b «= i, c — d = 2. Le nombre 6*— \ac = — 7 n’est pas un carrć. L’ćquation x*4-x4-2 = 2y admet la solution x_p — —1, y, = 1 qui remplit la condition (x,y_#, Gad) «* 1, et la proposition C_4-l rćsulte iinmćdiatcment de C₄.

C_M. II exiate une infiniU de nombres premiera p tela que le nombre lP(P+1)—2 eat premier.

Dćmonstration «le riniplieation C₄-»C_4J. Posons, dans C₄, <1 = 6=1, c — — 4, d = 2. Le nombre b*— 4ae « 17 n’est pas un carri. L’ćquation x*4-x— 4 ■■ 2y admet la solution x, «■ 1, y₀= —1, telle que (x,y„,6ad) = 1, donc C₄ entraine immódiatement C_4>a.

C_4-4. La auite o(n) (»=1,2,...) conlient une infinitó de nombrea premiera.

Dćmonstration de Pimplication C₄-*C₄₄. Posons, dans C₄, a «= b =b c = d = 1. Lu nombre ft*—— 3 n’est pas un carrć. L’ćquation x*4-*4- 1 =* y admet la solution x* — — 1, y_# = 1, od (x_#y₀, Gad) = 1, et, comme pour p premiera on a a{p*) = p^t+p-\-l, C₄ entraine la proposition C_M.

C». Tout nombre naturel pruł etre reprłaenU <Tune infiniU de manierea aoua la formę e(x)— «r(y) (o« x et y ront den nombrea naturela).

Dćmonstration de Pimplication II-♦C_$. Si n est pair, il existe, d’aprćs C,.,, une infinitć de nomłires premiera p et q tels que p—q= «, d’oii <r(p) — o(q) = (j>4-l)— (ę-f-1) «= n. Or, si n est impair, posons, dans C₄, a» d= 1, <?=«. Le nombre 6*— iae — 1— 4n < 0 n’cst pas un carrć. Si 3|n, alore, »i ćtant impair, on a (n 4-2, 6) = 1 et pour x, = 1, y_#=i»4-2 on a xj4-x4-n=«y_# et (x*y , Gad) = (n4-2, 6) = 1. Si 1’on n’a pas 3|n, alors (n, 6) *= 1 et pour x = —1, y, => n on trouve xj4-x₀4r 4-n»y₀ et (x₀y_#, Gad) = ( — n, 6) =* 1. IPaprćs C₄ il existe donc une infinitó de nombres premiera p et q tels que p*4 p4-w = ę, d'oii

a(q)—a(pⁱ) = ę4-l—(p*-f p-H) -- g_p«_p = _n .

On a donc H-*C₄.

U est a remanjuer quc pour la fonctiou <p la proposition analojrne sl C* est fausse, car on pout dćmontrer d’une faęon ćlćmentaire qu’aucun des nombres 2*7“—1 (»■» 1,2,...) n’est de la formę y>(x)‘—y(y), mais, comnu- pour p ct q premier* on a v(p)—<p(q) = p—q, on dćduit <lc C,., que tout nombre pair est de la formę y>(x)—ę>(y).

C"₄. n itant un nombre impair >1, k un enlier don ni ąueloonąue qui «Vif JKU une puisaance <fun eniier a Vexpoaant d> 1 et d|n, il exiate une infiniti de nombrea premiera de la formę x*-fłr, ou x eat un nombre naturel (pour n = 3 cf. Hardy et Littlewood [10], p. 50, Conjeeture K). Si, en outre k eat pair, il existe une infiniti de nombrea premiera p tria que p^H+k eat un nombre premier.

Dćmonstration dc Pimplication H-»Cy. n Mant un nombre impair ct k n’ćtant pas une puissancc d’un enticr a l’exposant d > 1 et d|n, le polynóme f(x) = x^,*-+k OBt irrćdnctible. Or, on a (/_x(0),/,(l)) = {k,k+1)*= 1 et on dćduit de U la premierę partie dc 0,. Si k est pair, alors, en posant f_t(x) = x ou a (/,(—1 )/,< — 1),/»< 1)/.(!)) «= (*—1,*+1)— 1 la condition S est encore rcmplic ct H entraine la dcuxićmc partie de G,.

II est ii remarąuer que saus 1’aide de 1’hypothćse II nous no savons dćmontrer menie pas Pexistence d’une infinitć de nombres premiera de la formę x*+y*-ł-c\ oii x, y et z sont des entiera. On sait cependant dćmontrer (sans Paidc dc Phypothćsc H) l’existence d’une infinitć dc nom-lires premiera de la formę x*-f-    l* oi» x, y, s, t sont des entiera:

tels sont, par exemple, tous les nombres de la formę 9Jt±l.

C,. 11 eriaie une infiniti de nombrea nafurela n tela que ehacun dea nombrea «, n-fl, n-f 2 eat le produit de deux nombrea premiera diatineta.

Dćmonstration de Pimplication H-*C_T. Soit /,(*)—10x-fl, /,(x)= 15x+2, /»(x) = 6x+1. On a ici a ~ /,(0)/,(0)/,(0) = 2 et 6 =*/»<1)/«(1)A<1) — 11-17-7, donc (<*,&) = 1 ct il rćsulto de H qu’il « xiste une infinitć de nombres naturels x tels quc les nombres p 10x-f 1, q= !5x+2, r=6x+l sont premiera. Ponr n ■= 3p on trouve n+1 = 3p+l = 2(16x+2)= 2q, n + 2 = 2f-+ 1 = 30x-f 5 ■= 5(6x+1) = 5r et p > 11 >3, qp 17 >2, r > 7 >5, d’oi» il rćsulte que cbacun des nombres w, w + J, n + 2 est le produit dc denx nombres distinets. De C_T rćsulte tout de suitę lVxistence d’une infinitć de nombres naturels n tels que les nombres «, n4-1 ct n-+2 ont le menie nombre de diviseurs.

Or, il n*existc pas quatre nombres naturels consćcutifs dont cbacun serait le produit dc nombres premiera distinets, un de ces nombres ćtant toujoura divisible par 4.

C|. U eriate pour tout nombre naturel a un nombre naturel m_t tel que rhacune dea łąuationa y(x) *= w, et o(x) = m, a plua de a aolutiona. (Ce problćrac a ćtć pość par P. Erdos).

Dćmonst ration de Pimplication H -*C_$. Posons/*(x) = 2^łx-t-l et y.(x) - 2‘x-l (i - 0,1,..., 2*-+l).

Comme /_#(0)/₁(0).../_M+l(0)y,(0)...y_IJ+ł(0) - 1, les polynómes /« et gi (i = 0,1,2,..., 2s-f 1) satisfont a la condition S et d’aprćs H, il existe