2104510614

17

3.3. Równania liniowe

STWIERDZENIE 3.6.

(1)    \F + G\^b^_Bv = \F\^_Bv + [G\^Bwb_v-

(2)    [AF]^B-_Bv=A[F]^B»-_8v,.

(3)    Odwzorowanie L(V,W) —* M^mn : F [F]^Bw _Bv jest wzajemnie jednoznaczne, to znaczy, że przy zadanych bazach odwzorowanie liniowe jest jednoznacznie określone przez swoją macierz.

Zastępowanie odwzorowania liniowego przez macierz liczbową jest bardzo wygodne dla celów rachukowych. Zobaczymy to przy omawianiu równań liniowych. Łatwo zapamiętać regułę składania odwzorowań reprezentowanych macierzami: macierz złożenia jest iloczynem macierzy. Dokładniej,

STWIERDZENIE 3.7. Jeżeli By jest bazą w V, Bw bazą w W, Bu bazą w U i jeśli F e L(V, W), GeL(W_>tf)Mo[G°F]%_v = [G]^B"_Bw[F]^B»'_Bv.

DOWÓD: Mamy dla każdego wektora v € V

[Go FM]⁸" = [G(F(»))]^So = [G]%JF(„)]⁸»-

= [G]%„([F]^B'VM⁶'') = m^Bu B_W\r\^Bw ■

Wnioski:

(1)    Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc również mnożenie macierzy jest łączne.

(2)    Jeżeli F € L(P, W) jest izomorfizmem, to [F~^l]^Bv _Bw = [F]^BwBy ^Ł. Istotnie,

I = M^BvBv = [F-¹F]^Bvb_v = W~^l]^Bv _Bw[F]^B” _Bv-

(3)    Ponieważ (F^-1)^-1 = F, więc również dla macierzy zachodzi (A^-1)^-1 = A.

(4)    Ponieważ dla odwzorowań (FoG)^-1 = G^-1oF^-1, więc i dla macierzy mamy podobnie: (AB)~^l = B~¹A~¹.

Spostrzeżenie: rz[F]-^_e = dimimF 3.3. Równania liniowe.

Niech F:V —> W będzie odwzorowaniem liniowym i niech b e W. Jeżeli e,/ są bazami odpowiednio przestrzeni V, W, to równanie liniowe Fx = b możemy zapisać równoważnie:

\f\^BwbM^Bv = w^Bw■

Abstrahując od odwzorowania, mamy równanie macierzowe Ax = b, gdzie szukamy kolumny x € Mⁿi(M), przy zadanych A € M^Tnn(R),b €