2192973025

1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej

Ponieważ

(0,6) = (6,0) - (0,1)

oraz

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (6,0) • (0,1),

więc możemy utożsamić parę, mającą postać (a, 0) z liczbą a oraz oznaczając parę (0,1) symbolem i, otrzymujemy przedstawienie liczby zespolonej (a, b) w postaci

a + bi.

Taki zapis liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną lub postacią algebraiczną.

Oczywiście, i² = —1.

Zauważmy teraz, jak łatwo jest wykonywać działania na liczbach zespolonych, jeśli przedstawiamy je w postaci kanonicznej.

Na przykład:

(a + bi) ■ (c-1- di) = ac + adi + bic + bdi² = ac — bd+ (ad + bc)i.

(a + bi) : (c + di) =

a + bi c + di

(a + bi) • (c — di) (c + di) • (c — di)

ac + bd —ad + bc c² + d^{2 +} c² + d²

(ac + bd) + (—ad + bc) • i c² + d²

Definicja 1 Częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, mającej postać

z = (a,b) = a + bi,

nazywamy liczbę (rzeczywistą) a. Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy symbolem rez.

Definicja 2 Częścią urojoną liczby zespolonej z, mającej postać z = (a, b) = a + bi nazywamy liczbę (rzeczywistą) b. Część urojoną liczby zespolonej z oznaczamy symbolem im 2.

4