ÿþP o l i t e c h n i k a Zw i t o k r z y s k a
W y d z i a B E l e k t r o t e c h n i k i , A u t o m a t y k i i I n f o r m a t y k i
K a t e d r a Z a s t o s o w a D I n f o r m a t y k i
M e t o d y o b l i c z e n i o w e l a b o r a t o r i u m
O p r a c o w a B: d r i n |. A n d r z e j K u Ba k o w s k i
I n s t r u k c j a l a b o r a t o r y j n a n r 2 : I n t e r p o l a c j a
D a t a : 1 . 0 6 . 2 0 1 2 r .
1 . W p r o w a d z e n i e
I n t e r p o l a c j a :
I n t e r p o l a c j f u n k c j i n a z y w a s i w y z n a c z e n i e p r z y b l i |o n y c h w a r t o [c i f u n k c j i f ( x ) d l a d o w o l n e g o a r g u m e n t u x
w p r z e d z i a l e [ a , b ] , p r z y z n a n y c h j e j w a r t o [c i a c h f ( x ) , f ( x ) , & , f ( x )
0 1 n
w u s t a l o n y c h k o l e j n y c h p u n k t a c h x , x , & , x z w a n y c h w z Ba m i i n t e r p o l a c j i .
0 1 n
R y s . 1 . W z By i n t e r p o l a c j i i w y z n a c z o n a k r z y w a i n t e r p o l a c y j n a .
2 . I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n e m L a g r a n g e ' a
W z ó r w i e l o m i a n u i n t e r p o l a c y j n e g o L a g r a n g e ' a :
n
žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 1 Ÿà‹àžà x - x ŸàÅ"žà x - x Ÿà‹àžà x - x n Ÿà
j - 1 j Ĉ1
W žà x Ÿà= y Å" ( 1 )
"
n j
žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 1 Ÿà‹àžà x - x ŸàÅ"žà x - x Ÿà‹àžà x - x n Ÿà
j = 0 j j j j - 1 j j Ĉ1 j
o d s t p y p o m i d z y p u n k t a m i x m o g b y d o w o l n e .
i
P r z y k Ba d 1 :
Z n a l e z w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y m e t o d L a g r a n g e ' a :
P u n k t y d o o b l i c z e D:
i 0 1 2 3
x 1 2 3 4
y 3 1 - 1 2
W z ó r i n t e r p o l a c y j n y L a g r a n g e ' a d l a 4 p u n k t ó w :
žà x - x 1 ŸàÅ"žà x - x 2 ŸàÅ"žà x - x 3 Ÿà žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 2 ŸàÅ"žà x - x 3 Ÿà
W žà x Ÿà= y 0 Å" ƒà y 1 Å" ƒà
3
žà x 0 - x 1 ŸàÅ"žà x 0 - x 2 ŸàÅ"žà x 0 - x 3 Ÿà žà x 1 - x 0 ŸàÅ"žà x 1 - x 2 ŸàÅ"žà x 1 - x 3 Ÿà
žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 1 ŸàÅ"žà x - x 3 Ÿà žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 1 ŸàÅ"žà x - x 2 Ÿà
ƒày 2 Å" ƒà y 3 Å"
( 2 )
žà x 2 - x 0 ŸàÅ"žà x 2 - x 1 ŸàÅ"žà x 2 - x 3 Ÿà žà x 3 - x 0 ŸàÅ"žà x 3 - x 1 ŸàÅ"žà x 3 - x 2 Ÿà
P o p o d s t a w i e n i u p u n k t ó w z t a b e l i :
žà x - 2 ŸàÅ"žà x - 3 ŸàÅ"žà x - 4 Ÿà žà x - 1 ŸàÅ"žà x - 3 ŸàÅ"žà x - 4 Ÿà
W žà x Ÿà= 3 Å" ƒà1 Å" ƒà
3
žà1 - 2 ŸàÅ"žà1 - 3 ŸàÅ"žà1 - 4 Ÿà žà 2 - 1 ŸàÅ"žà2 - 3 ŸàÅ"žà2 - 4 Ÿà
žà x - 1 ŸàÅ"žà x - 2 ŸàÅ"žà x - 4 Ÿà žà x - 1 ŸàÅ"žà x - 2 ŸàÅ"žà x - 3 Ÿà
ƒàžà- 1 ŸàÅ" ƒà2 Å"
( 3 )
žà3 - 1 ŸàÅ"žà3 - 2 ŸàÅ"žà3 - 4 Ÿà žà4 - 1 ŸàÅ"žà4 - 2 ŸàÅ"žà4 - 3 Ÿà
c i g d a l s z y p o w y k o n a n i u o b l i c z e D:
1 Å"žà 1 Å"žà 1 Å"žà 1 Å"žà
= - x 3 - 9 Å"x 2 ƒà2 6 Å"x - 2 4 Ÿàƒà x 3 - 8 Å"x 2 ƒà1 9 Å"x - 1 2 Ÿàƒà x 3 - 7 Å"x 2 ƒà1 4 Å"x - 8 Ÿàƒà x 3 - 6 Å"x 2 ƒà1 1 Å"x - 6 Ÿà
2 2 2 3
5 Å"x 4 3 Å"x ƒà0
3
= - 5 Å"x 2 ƒà
6 6
J e s t t o w y n i k k t ó r e g o s z u k a l i [m y .
3 . I n t e r p o l a c j a w i e l o m i a n e m N e w t o n ' a
W z ó r w i e l o m i a n u i n t e r p o l a c y j n e g o N e w t o n ' a :
2
à y 0 à y 0
W žà x Ÿà= y 0 ƒà Å"žà x - x 0 Ÿàƒà Å"žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 1 Ÿàƒà‹à
n
h
2 ! Å"h 2
n
à y 0
‹àƒà Å"žà x - x 0 ŸàÅ"žà x - x 1 ŸàÅ"‹àÅ"žà x - x n - 1 Ÿà ( 4 )
n ! Å"h n
M e t o d a N e w t o n a z a k Ba d a , |e o d s t p y p o m i d z y p u n k t a m i x s j e d n a k o w e i r ó w n e h .
i
W e w z o r z e m a m y w y k o r z y s t a n e o p e r a t o r y r ó |n i c z w y k By c h , k t ó r e o b l i c z a m y w g s c h e m a t u :
O b l i c z e n i a o p e r a t o r ó w w t a b l i c y r ó |n i c z w y k By c h :
2
i x i f žà x i Ÿà= y i à f žàx i Ÿà à f žà x i Ÿà à3 f žàx i Ÿà
f žàx 0 Ÿà à f žàx 0 Ÿà
à2 f žàx 0 Ÿà à3 f žàx 0 Ÿà
0 x
0
f žàx 0 ƒàh Ÿà à f žàx 0 Ÿàƒàh
à2 f žàx 0 Ÿàƒàh
1 x + h
0
f žàx 0 ƒà2 h Ÿà à f žàx 0 Ÿàƒà2 h
2 x + 2 h
0
f žàx 0 ƒà3 h Ÿà
3 x + 3 h
0
P r z y k Ba d 2 :
Z n a l e z w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y m e t o d N e w t o n a :
P u n k t y d o o b l i c z e D:
i 0 1 2 3
x 1 1 . 5 2 2 . 5
y 2 2 . 5 3 . 5 4 . 0
O b l i c z e n i a o p e r a t o r ó w w t a b l i c y r ó |n i c z w y k By c h :
2
i x i f žà x i Ÿà= y i à f žàx i Ÿà à f žà x i Ÿà à3 f žà x i Ÿà
0 1 . 0 2 . 0 0 . 5 0 . 5 - 1 . 0
1 1 . 5 2 . 5 1 . 0 - 0 . 5
2 2 . 0 3 . 5 0 . 5
3 2 . 5 4 . 0
P o p o d s t a w i e n i u p u n k t ó w i o p e r a t o r ó w o r a z w y l i c z e n i u :
0 . 5 Å"žà 0 . 5
W žà x Ÿà= 2 . 0 ƒà x - 1 Ÿàƒà Å"žà x - 1 ŸàÅ"žà x - 1 . 5 Ÿàƒà- 1 . 0 Å"žà x - 1 ŸàÅ"žà x - 1 . 5 ŸàÅ"žà x - 2 Ÿà
2 3
3
1
2 ! Å"1 3 ! Å"1
2
2 2
4 Å"x 3 ƒà7 Å"x 2 - 1 0 1 Å"x ƒà6 1
= -
3 6 2
J e s t t o w y n i k k t ó r e g o s z u k a l i [m y .
4 . Z a d a n i a d o w y k o n a n i a
a ) d l a p o d a n e g o p r z e z p r o w a d z c e g o z a j c i a p r z y k Ba d u , o b l i c z y w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y w y b r a n m e t o d .
b ) d l a p o d a n e g o p r z e z p r o w a d z c e g o z a j c i a z a d a n i a d o m o w e g o :
- n a p i s a p r o g r a m k o m p u t e r o w y o b l i c z a j c y w i e l o m i a n i n t e r p o l a c y j n y w y b r a n m e t o d .
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