Laboratorium
Metod Obliczeniowych
Lab 2 - interpolacja
dr inż. Andrzej Kułakowski Kielce 2012
Katedra Zastosowań Informatyki Politechnika Świętokrzyska w Kielcach
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Interpolacja
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Interpolacja wielomianem Lagrange'a
n
śąx- x0źąÅ"śąx-x1źą‹Ä…śąx-x źąÅ"śąx-x źą‹Ä…śąx-xnźą
j-1 jƒÄ…1
W śąxźą= y Å"
"
n j
śąx -x0źąÅ"śąx -x1źą‹Ä…śąx - x źąÅ"śąx - x źą‹Ä…śąx -xnźą
j=0
j j j j -1 j jƒÄ…1 j
Przykład:
i 0 1 2 3
x 1 2 3 4
y 3 1 -1 2
Wzór dla 4 punktów:
śąx-x1źąÅ"śąx-x2źąÅ"śąx-x3źą śąx-x0źąÅ"śąx-x2źąÅ"śąx-x3źą
W śąxźą=y0Å" ƒÄ…y1Å" ƒÄ…
3
śąx0-x1źąÅ"śąx0-x2źąÅ"śąx0-x3źą śąx1-x0źąÅ"śąx1-x2źąÅ"śąx1-x3źą
śąx-x0źąÅ"śąx-x1źąÅ"śąx-x3źą śąx-x0źąÅ"śąx-x1źąÅ"śąx-x2źą
ƒÄ…y2Å" ƒÄ…y3Å"
śąx2-x0źąÅ"śąx2-x1źąÅ"śąx2-x3źą śąx3-x0źąÅ"śąx3-x1źąÅ"śąx3-x2źą
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Interpolacja wielomianem Lagrange'a
śąx-x1źąÅ"śąx-x2źąÅ"śąx-x3źą śąx-x0źąÅ"śąx-x2źąÅ"śąx-x3źą
W śąxźą=y0Å" ƒÄ…y1Å" ƒÄ…
3
śąx0-x1źąÅ"śąx0-x2źąÅ"śąx0-x3źą śąx1-x0źąÅ"śąx1-x2źąÅ"śąx1-x3źą
śąx-x0źąÅ"śąx-x1źąÅ"śąx-x3źą śąx-x0źąÅ"śąx-x1źąÅ"śąx-x2źą
ƒÄ…y2Å" ƒÄ…y3Å"
śąx2-x0źąÅ"śąx2-x1źąÅ"śąx2-x3źą śąx3-x0źąÅ"śąx3-x1źąÅ"śąx3-x2źą
śąx-2źąÅ"śąx-3źąÅ"śąx-4źą śąx-1źąÅ"śąx-3źąÅ"śąx-4źą śąx-1źąÅ"śąx-2źąÅ"śąx-4źą śąx-1źąÅ"śąx-2źąÅ"śąx-3źą
W śąxźą=3Å" ƒÄ…1Å" ƒÄ…
ƒÄ…śą-1źąÅ" ƒÄ…2Å"
3
śą1-2źąÅ"śą1-3źąÅ"śą1-4źą śą2-1źąÅ"śą2-3źąÅ"śą2-4źą
śą3-1źąÅ"śą3-2źąÅ"śą3-4źą śą4-1źąÅ"śą4-2źąÅ"śą4-3źą
1 1 1 1
=- Å"śąx3-9Å"x2ƒÄ…26Å"x-24źąƒÄ… Å"śąx3-8Å"x2ƒÄ…19Å"x-12źąƒÄ… Å"śąx3-7Å"x2ƒÄ…14Å"x-8źąƒÄ… Å"śąx3-6Å"x2ƒÄ…11Å"x-6źą
2 2 2 3
5 43
= Å"x3-5Å"x2ƒÄ… Å"xƒÄ…0
6 6
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Interpolacja wielomianem Newton'a
­Ä… y0 ­Ä…2 y0
W śąxźą= y0ƒÄ… Å"śąx-x0źąƒÄ… Å"śąx-x0źąÅ"śąx- x1źąƒÄ…‹Ä…
n
h
2!Å"h2
­Ä…n y0
‹Ä…ƒÄ… Å"śąx-x0źąÅ"śąx-x1źąÅ"‹Ä…Å"śąx- xn-1źą
n!Å"hn
Przykład:
i 0 1 2 3
x 1 1.5 2 2.5
y 2 2.5 3.5 4.0
Laboratorium Metod Obliczeniowych
Interpolacja wielomianem Newton'a
Tablica różnic zwykłych:
i xi f śąxiźą=yi ­Ä… f śą xiźą ­Ä…2 f śąxiźą ­Ä…3 f śąxiźą
-1.0
0 1.0 2.0 0.5 0.5
1 1.5 2.5 1.0 -0.5
2 2.0 3.5 0.5
3 2.5 4.0
0.5 0.5 -1.0
W śąxźą=2.0ƒÄ… Å"śąx-1źąƒÄ… Å"śą x-1źąÅ"śąx-1.5źąƒÄ… Å"śą x-1źąÅ"śąx-1.5źąÅ"śą x-2źą
2 3
3
1
2!Å"1 3!Å"1
2
2 2
4Å"x ƒÄ…7Å"x2-101Å"xƒÄ…6 1
3
=-
3 6 2
Laboratorium Metod Obliczeniowych
wykłady przygotowane na podstawie:
- Klamka J., Ogonowski Z., Jamicki M., Stasik M: Metody
numeryczne, Wyd. Politechniki ÅšlÄ…skiej, Gliwice 1998.
- materiałów dostępnych na serwerze
Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Wydziału Mechanicznego Technologicznego
Politechniki ÅšlÄ…skiej