ÿþP o l i t e c h n i k a Zw i t o k r z y s k a
W y d z i a B E l e k t r o t e c h n i k i , A u t o m a t y k i i I n f o r m a t y k i
K a t e d r a Z a s t o s o w a D I n f o r m a t y k i
M e t o d y o b l i c z e n i o w e l a b o r a t o r i u m
O p r a c o w a B: d r i n |. G r z e g o r z S Bo D
I n s t r u k c j a l a b o r a t o r y j n a n r 3 : A p r o k s y m a c j a
D a t a : 3 0 . 0 3 . 2 0 1 2 r .
A p r o k s y m a c j a w e r s j a r o b o c z a
1 . W p r o w a d z e n i e
A p r o k s y m a c j a p o l e g a n a z n a l e z i e n i u f u n k c j i o z g ó r y z a Bo |o n e j p o s t a c i , k t ó r e j p r z e b i e g
b d z i e m o |l i w i e n a j b l i |s z y p u n k t o m o z a d a n y c h w s p ó Br z d n y c h ( o b r a z u j c y m n p . w y n i k i
p o m i a r ó w ) . P o w s z e c h n i e s t o s o w a n m e t o d a p r o k s y m a c j i j e s t m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w , u k t ó r e j p o d s t a w l e |y d |e n i e d o m i n i m a l i z a c j i s u m a r y c z n e g o b Bd u
k w a d r a t o w e g o , o b l i c z a n e g o w g n a s t p u j c e j z a l e |n o [c i :
n
2
Á = ( y i - f ( x i ) )
( 1 )
"
i = 1
g d z i e : n l i c z b a p u n k t ó w p r ó b k o w a n i a p r z e b i e g u ;
( x , y ) w s p ó Br z d n e i - t e g o p u n k t u ;
i i
f ( x ) w a r t o [ s z u k a n e j f u n k c j i w i - t y m p u n k c i e .
i
O g ó l n i e r z e c z u j m u j c , c e l e m a p r o k s y m a c j i j e s t z n a l e z i e n i e w i e l o m i a n u o p o s t a c i :
m
Q m ( x ) = a i Å" x i ,
( 2 )
"
i = 0
a e l e m e n t a m i s z u k a n y m i s w s p ó Bc z y n n i k i a .
i
D l a i c h z n a l e z i e n i a n a l e |y r o z w i z a u k Ba d r ó w n a D:
a 0 S 0 + a 1 S 1 + ‹à + a m S m = T 0
ñø
ôø
a 0 S 1 + a 1 S 2 + ‹à + a m S m + 1 = T 1
ôø
ôø
ôø‹à
( 3 )
òø
a 0 S k + a 1 S k + 1 + ‹à + a m S k + m = T k
ôø
ôø‹à
ôø
ôø a 0 S m + a 1 S m + 1 + ‹à + a m S 2 m = T m
óø
g d z i e : m z a k Ba d a n y r z d w i e l o m i a n u ;
n
S k = x i k
, k = 0 , 1 , 2 , . . . , 2 m ; ( 4 )
"
i = 0
n
T k = x i k y i
, k = 0 , 1 , 2 , . . . , m . ( 5 )
"
i = 0
- 1 -
K a t e d r a Z a s t o s o w a D I n f o r m a t y k i , M e t o d y o b l i c z e n i o w e l a b o r a t o r i u m
I n s t r u k c j a l a b o r a t o r y j n a n r 3 : A p r o k s y m a c j a
U k Ba d r ó w n a D ( 3 ) m o |n a p r z e d s t a w i w d o g o d n i e j s z e j d o r o z w i z y w a n i a f o r m i e :
S 0 S 1 S 2 ‹à S m a 0 T 0
îø ùø îø ùø îø ùø
ïø
S 1 S 2 S 3 ‹à S m + 1 úø ïø a 1 úø ïø T 1 úø
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø ïø úø
S 2 S 3 S 4 ‹à S m + 2 a 2 = T 2
( 6 )
ïø úø ïø úø ïø
î" î" î" ñ" î" î" î"úø
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø
S m S m + 1 S m + 2 ‹à S 2 m úø ïø a m úø ïøT m úø
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
S 0 S 1 S 2 ‹à S m a 0 T 0
îø ùø îø ùø îø ùø
ïø
S 1 S 2 S 3 ‹à S m + 1 úø ïø a 1 úø ïø T 1 úø
ïø úø ïø úø ïø úø
úø ïø úø ïø úø
S 2 S 3 S 4 ‹à S m + 2 A = a 2 T = T 2
O z n a c z a j c : S = ïø , , , u z y s k u j e s i r ó w n a n i e :
ïø úø ïø úø ïø
î" î" î" ñ" î" î" î"úø
ïø úø ïø úø ïø úø
ïø
S m S m + 1 S m + 2 ‹à S 2 m úø ïø a m úø ïøT m úø
ðø ûø ðø ûø ðø ûø
S Å" A = T , ( 7 )
k t ó r e g o r o z w i z a n i e m j e s t :
( 8 )
A = S - 1 Å" T
2 . P r z y k Ba d
D a n e p o m i a r o w e ( w s p ó Br z d n e p u n k t ó w ) :
i 0 1 2 3 4
x - 1 , 8 - 1 0 , 2 1 , 2 2
y 5 , 6 8 1 , 9 9 1 , 2 4 9 , 8 1 1 4 , 5
O b l i c z e n i a d l a m = 1
i x y k 0 1 2 k 0 1
i i
k k
0 - 1 , 8 5 , 6 8 x 1 - 1 , 8 3 , 2 4 x y 5 , 6 8 - 1 0
0 0 0
k k
1 - 1 1 , 9 9 x 1 - 1 1 x y 1 , 9 9 - 2
1 1 1
k k
2 0 , 2 1 , 2 4 x 1 0 , 2 0 , 0 4 x y 1 , 2 4 0 , 2 5
2 2 2
k k
3 1 , 2 9 , 8 1 x 1 1 , 2 1 , 4 4 x y 9 , 8 1 1 1 , 8
3 3 3
k k
4 2 1 4 , 5 x 1 2 4 x y 1 4 , 5 2 8 , 9
4 4 4
S 5 0 , 6 9 , 7 2 T 3 3 , 2 2 8 , 7
k k
5 0 , 6 3 3 , 2
îø ùø îø ùø
S = T =
ïø ïø
0 , 6 9 , 7 2 úø 2 8 , 7 úø
ðø ûø ðø ûø
9 , 7 2 - 0 , 6
îø ùø
S =
M a c i e r z d o p e Bn i e D:
ïø úø
- 0 , 6 5
ðø ûø
9 , 7 2 - 0 , 6
îø ùø
S T =
M a c i e r z d o p e Bn i e D t r a n s p o n o w a n a :
ïø úø
- 0 , 6 5
ðø ûø
W y z n a c z n i k : | S | = 4 8 , 2
0 , 2 0 1 - 0 , 0 1 2
îø ùø
M a c i e r z o d w r o t n a : S - 1 = ïø
úø
- 0 , 0 1 2 0 , 1 0 4
ðø ûø
- 2 -
K a t e d r a Z a s t o s o w a D I n f o r m a t y k i , M e t o d y o b l i c z e n i o w e l a b o r a t o r i u m
I n s t r u k c j a l a b o r a t o r y j n a n r 3 : A p r o k s y m a c j a
6 , 3 3
îø ùø
f ( x ) = 6 , 3 3 + 2 , 5 6 x
A = S - 1 Å" T =
, c z y l i s z u k a n a f u n k c j a a p r o k s y m u j c a t o :
ïø
2 , 5 6 úø
ðø ûø
1 6
1 4
1 2
1 0
8
6
4
2
0
- 2 - 1 , 5 - 1 - 0 , 5 0 0 , 5 1 1 , 5 2
x
R y s . 1 . W y n i k o b l i c z e D d l a m = 1 . C i g B l i n i o z n a c z o n o f u n k c j a p r o k s y m u j c . C z a r n e p u n k t y o z n a c z a j
p o Bo |e n i e p u n k t ó w p o m i a r o w y c h .
O b l i c z e n i a d l a m = 2
i x y k 0 1 2 3 4 k 0 1 2
i i
k k
0 - 1 , 8 5 , 6 8 x 1 - 1 , 8 3 , 2 4 - 5 , 8 1 0 , 5 x y 5 , 6 8 - 1 0 1 8 , 4
0 0 0
k k
1 - 1 1 , 9 9 x 1 - 1 1 - 1 1 x y 1 , 9 9 - 2 1 , 9 9
1 1 1
k k
2 0 , 2 1 , 2 4 x 1 0 , 2 0 , 0 4 0 , 0 1 0 x y 1 , 2 4 0 , 2 5 0 , 0 5
2 2 2
k k
3 1 , 2 9 , 8 1 x 1 1 , 2 1 , 4 4 1 , 7 3 2 , 0 7 x y 9 , 8 1 1 1 , 8 1 4 , 1
3 3 3
k k
4 2 1 4 , 5 x 1 2 4 8 1 6 x y 1 4 , 5 2 8 , 9 5 7 , 8
4 4 4
S 5 0 , 6 9 , 7 2 2 , 9 2 9 , 6 T 3 3 , 2 2 8 , 7 9 2 , 4
k k
5 0 , 6 9 , 7 2 3 3 , 2
îø ùø îø ùø
ïø úø ïø
S = 0 , 6 9 , 7 2 2 , 9 T = 2 8 , 7 úø
ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø
9 , 7 2 2 , 9 2 9 , 6 ûø 9 2 , 4 ûø
ðø ðø
2 7 9 1 0 , 5 - 9 3
îø ùø
ïø1 0 , 5 5 3 , 4 - 8 , 7 úø
S =
M a c i e r z d o p e Bn i e D:
ïø úø
ïø - 9 3 - 8 , 7 4 8 , 2 ûø
úø
ðø
2 7 9 1 0 , 5 - 9 3
îø ùø
ïø1 0 , 5 5 3 , 4 - 8 , 7 úø
S T =
M a c i e r z d o p e Bn i e D t r a n s p o n o w a n a :
ïø úø
ïø - 9 3 - 8 , 7 4 8 , 2 ûø
úø
ðø
W y z n a c z n i k : | S | = 5 0 0
0 , 5 5 8 0 , 0 2 1 - 0 , 1 8 5
îø ùø
M a c i e r z o d w r o t n a : S - 1 = ïø 0 , 0 2 1 0 , 1 0 7 - 0 , 0 1 7 úø
ïø úø
ïø - 0 , 1 8 5 - 0 , 0 1 7 0 , 0 9 6
úø
ðø ûø
- 3 -
y
K a t e d r a Z a s t o s o w a D I n f o r m a t y k i , M e t o d y o b l i c z e n i o w e l a b o r a t o r i u m
I n s t r u k c j a l a b o r a t o r y j n a n r 3 : A p r o k s y m a c j a
1 , 9 8
îø ùø
ïø
2
f ( x ) = 1 , 9 8 + 2 , 1 6 x + 2 , 2 6 x
A = S - 1 Å" T = 2 , 1 6 úø , c z y l i s z u k a n a f u n k c j a a p r o k s y m u j c a t o :
ïø úø
ïø úø
2 , 2 6 ûø
ðø
1 8
1 6
1 4
1 2
1 0
8
6
4
2
0
- 2 - 1 , 5 - 1 - 0 , 5 0 0 , 5 1 1 , 5 2
x
R y s . 2 . W y n i k o b l i c z e D d l a m = 2 . C i g B l i n i o z n a c z o n o f u n k c j a p r o k s y m u j c . C z a r n e p u n k t y o z n a c z a j
p o Bo |e n i e p u n k t ó w p o m i a r o w y c h .
3 . Z a d a n i a d o s a m o d z i e l n e g o r o z w i z a n i a
3 . 1 . Z n a l e z f u n k c j e a p r o k s y m u j c e n a s t p u j c e z b i o r y p u n k t ó w :
i 0 1 2 3
a ) x 1 , 0 2 , 0 4 , 0 7 , 0
y 1 , 4 2 , 1 2 , 2 3 , 5
i 0 1 2 3
b ) x - 3 , 0 1 , 0 2 , 0 5 , 0
y 1 5 , 0 - 0 , 5 1 , 5 1 2 , 0
i 0 1 2 3
c ) x - 3 , 0 - 1 , 0 2 , 0 4 , 0
y 5 5 , 0 1 , 0 1 0 , 0 - 8 , 0
K a |d y p r z y p a d e k r o z w a |y d l a k i l k u ( c o n a j m n i e j t r z e c h ) r z d ó w w i e l o m i a n u ( 2 ) .
3 . 2 . W y z n a c z y b Bd y a p r o k s y m a c j i d l a f u n k c j i z n a l e z i o n y c h w p u n k c i e 3 . 1 .
O c e n i p r z y d a t n o [ z w i k s z a n i a s t o p n i a w i e l o m i a n u a p r o k s y m u j c e g o z p u n k t u w i d z e n i a
p o p r a w y d o k Ba d n o [c i a p r o k s y m a c j i .
3 . 3 . N a p i s a a p l i k a c j ( w w y b r a n y m j z y k u p r o g r a m o w a n i a ) , k t ó r e j z a d a n i e m b d z i e
w y z n a c z a n i e w i e l o m i a n u a p r o k s y m u j c e g o ( 2 )
A p l i k a c j a p o w i n n a u m o |l i w i a Ba t w e w p r o w a d z a n i e w s p ó Br z d n y c h p u n k t ó w o d n i e s i e n i a
o r a z d o b ó r r z d u w i e l o m i a n u ( w g r a n i c a c h o d 1 d o 5 ) .
- 4 -
y
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