MObl L03

��Politechnika Zwitokrzyska WydziaB Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Katedra ZastosowaD Informatyki Metody obliczeniowe laboratorium OpracowaB: dr in|. Grzegorz SBoD Instrukcja laboratoryjna nr 3: Aproksymacja Data: 30.03.2012 r. Aproksymacja wersja robocza 1. Wprowadzenie Aproksymacja polega na znalezieniu funkcji o z g�ry zaBo|onej postaci, kt�rej przebieg bdzie mo|liwie najbli|szy punktom o zadanych wsp�Brzdnych (obrazujcym np. wyniki pomiar�w). Powszechnie stosowan metod aproksymacji jest metoda najmniejszych kwadrat�w, u kt�rej podstaw le|y d|enie do minimalizacji sumarycznego bBdu kwadratowego, obliczanego wg nastpujcej zale|no[ci: n 2 � = ( yi - f (xi )) (1) " i = 1 gdzie: n liczba punkt�w pr�bkowania przebiegu; (x , y ) wsp�Brzdne i-tego punktu; i i f(x ) warto[ szukanej funkcji w i-tym punkcie. i Og�lnie rzecz ujmujc, celem aproksymacji jest znalezienie wielomianu o postaci: m Qm (x) = ai �" xi , (2) " i= 0 a elementami szukanymi s wsp�Bczynniki a . i Dla ich znalezienia nale|y rozwiza ukBad r�wnaD: a0S0 + a1S1 + �� + amSm = T0 �� a0S1 + a1S2 + �� + amSm+ 1 = T1 �� (3) �� a0Sk + a1Sk + 1 + �� + amSk + m = Tk �� a0Sm + a1Sm+ 1 + �� + amS2m = Tm �� gdzie: m zakBadany rzd wielomianu; n Sk = xi k , k = 0, 1, 2, ..., 2m; (4) " i= 0 n Tk = xi k yi , k = 0, 1, 2, ..., m. (5) " i= 0 - 1 - Katedra ZastosowaD Informatyki, Metody obliczeniowe laboratorium Instrukcja laboratoryjna nr 3: Aproksymacja UkBad r�wnaD (3) mo|na przedstawi w dogodniejszej do rozwizywania formie: S0 S1 S2 �� Sm a0 T0 �� S1 S2 S3 �� Sm+ 1 �� a1 �� T1 �� S2 S3 S4 �� Sm+ 2 a2 = T2 (6) �� " �" �" �" �" �" �"�� Sm Sm+ 1 Sm+ 2 �� S2m �� am �� Tm �� S0 S1 S2 �� Sm a0 T0 �� S1 S2 S3 �� Sm+ 1 �� a1 �� T1 �� S2 S3 S4 �� Sm+ 2 A = a2 T = T2 Oznaczajc: S = �� , , , uzyskuje si r�wnanie: �� " �" �" �" �" �" �"�� Sm Sm+ 1 Sm+ 2 �� S2m �� am �� Tm �� S �" A = T , (7) kt�rego rozwizaniem jest: (8) A = S- 1 �" T 2. PrzykBad Dane pomiarowe (wsp�Brzdne punkt�w): i 0 1 2 3 4 x -1,8 -1 0,2 1,2 2 y 5,68 1,99 1,24 9,81 14,5 Obliczenia dla m = 1 i x y k 0 1 2 k 0 1 i i k k 0 -1,8 5,68 x 1 -1,8 3,24 x y 5,68 -10 0 0 0 k k 1 -1 1,99 x 1 -1 1 x y 1,99 -2 1 1 1 k k 2 0,2 1,24 x 1 0,2 0,04 x y 1,24 0,25 2 2 2 k k 3 1,2 9,81 x 1 1,2 1,44 x y 9,81 11,8 3 3 3 k k 4 2 14,5 x 1 2 4 x y 14,5 28,9 4 4 4 S 5 0,6 9,72 T 33,2 28,7 k k 5 0,6 33,2 �� S = T = �� 0,6 9,72�� 28,7�� 9,72 - 0,6 �� S = Macierz dopeBnieD: �� - 0,6 5 �� 9,72 - 0,6 �� ST = Macierz dopeBnieD transponowana: �� - 0,6 5 �� Wyznacznik: |S| = 48,2 0,201 - 0,012 �� Macierz odwrotna: S- 1 = �� - 0,012 0,104 �� - 2 - Katedra ZastosowaD Informatyki, Metody obliczeniowe laboratorium Instrukcja laboratoryjna nr 3: Aproksymacja 6,33 �� f (x) = 6,33 + 2,56x A = S- 1 �" T = , czyli szukana funkcja aproksymujca to: �� 2,56�� 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x Rys. 1. Wynik obliczeD dla m = 1. CigB lini oznaczono funkcj aproksymujc. Czarne punkty oznaczaj poBo|enie punkt�w pomiarowych. Obliczenia dla m = 2 i x y k 0 1 2 3 4 k 0 1 2 i i k k 0 -1,8 5,68 x 1 -1,8 3,24 -5,8 10,5 x y 5,68 -10 18,4 0 0 0 k k 1 -1 1,99 x 1 -1 1 -1 1 x y 1,99 -2 1,99 1 1 1 k k 2 0,2 1,24 x 1 0,2 0,04 0,01 0 x y 1,24 0,25 0,05 2 2 2 k k 3 1,2 9,81 x 1 1,2 1,44 1,73 2,07 x y 9,81 11,8 14,1 3 3 3 k k 4 2 14,5 x 1 2 4 8 16 x y 14,5 28,9 57,8 4 4 4 S 5 0,6 9,72 2,9 29,6 T 33,2 28,7 92,4 k k 5 0,6 9,72 33,2 �� S = 0,6 9,72 2,9 T = 28,7�� 9,72 2,9 29,6�� 92,4�� 279 10,5 - 93 �� 10,5 53,4 - 8,7�� S = Macierz dopeBnieD: �� - 93 - 8,7 48,2�� 279 10,5 - 93 �� 10,5 53,4 - 8,7�� ST = Macierz dopeBnieD transponowana: �� - 93 - 8,7 48,2�� Wyznacznik: |S| = 500 0,558 0,021 - 0,185 �� Macierz odwrotna: S- 1 = �� 0,021 0,107 - 0,017�� - 0,185 - 0,017 0,096 �� - 3 - y Katedra ZastosowaD Informatyki, Metody obliczeniowe laboratorium Instrukcja laboratoryjna nr 3: Aproksymacja 1,98 �� 2 f ( x) = 1,98 + 2,16x + 2,26x A = S- 1 �" T = 2,16�� , czyli szukana funkcja aproksymujca to: �� 2,26�� 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 x Rys. 2. Wynik obliczeD dla m = 2. CigB lini oznaczono funkcj aproksymujc. Czarne punkty oznaczaj poBo|enie punkt�w pomiarowych. 3. Zadania do samodzielnego rozwizania 3.1. Znalez funkcje aproksymujce nastpujce zbiory punkt�w: i 0 1 2 3 a) x 1,0 2,0 4,0 7,0 y 1,4 2,1 2,2 3,5 i 0 1 2 3 b) x -3,0 1,0 2,0 5,0 y 15,0 -0,5 1,5 12,0 i 0 1 2 3 c) x -3,0 -1,0 2,0 4,0 y 55,0 1,0 10,0 -8,0 Ka|dy przypadek rozwa|y dla kilku (co najmniej trzech) rzd�w wielomianu (2). 3.2. Wyznaczy bBdy aproksymacji dla funkcji znalezionych w punkcie 3.1. Oceni przydatno[ zwikszania stopnia wielomianu aproksymujcego z punktu widzenia poprawy dokBadno[ci aproksymacji. 3.3. Napisa aplikacj (w wybranym jzyku programowania), kt�rej zadaniem bdzie wyznaczanie wielomianu aproksymujcego (2) Aplikacja powinna umo|liwia Batwe wprowadzanie wsp�Brzdnych punkt�w odniesienia oraz dob�r rzdu wielomianu (w granicach od 1 do 5). - 4 - y

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MObl L03
MObl L02
r3 l03
MObl L09
MObl L01
RR L03 pthread create attr
l03102013 z09
MObl L10
powt mobl 2
l03$102013 z09
MObl L07 uklady
l03112013 z09
MObl L02 interp
MObl L08 mzero
MObl L05
l03112013 z09
MObl L04 matlab
l03
4 6 m3 L03

więcej podobnych podstron