ÿþP o l i t e c h n i k a Zw i t o k r z y s k a
W y d z i a B E l e k t r o t e c h n i k i , A u t o m a t y k i i I n f o r m a t y k i
K a t e d r a Z a s t o s o w a D I n f o r m a t y k i
M e t o d y o b l i c z e n i o w e l a b o r a t o r i u m
I n s t r u k c j a l a b o r a t o r y j n a n r 9 : O p r a c o w a B: d r i n |. A n d r z e j K u Ba k o w s k i
D a t a : 0 2 . 1 2 . 2 0 1 2 r .
R o z w i z y w a n i e r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h z w y c z a j n y c h
1 . W p r o w a d z e n i e
S f o r m u Bo w a n i e z a d a n i a p r z y b l i |o n e g o r o z w i z y w a n i a r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h z w y c z a j n y c h :
N a j p r o s t s z y m r ó w n a n i e m r ó |n i c z k o w y m z w y c z a j n y m j e s t r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e p i e r w s z e g o
r z d u o p o s t a c i :
y ( 1 ) ( x ) = f ( x , y ( x ) ) ( 1 )
z w a r u n k i e m p o c z t k o w y m : y ( x ) = y
0 0
Z a k Ba d a m y |e f u n k c j a f ( x , y ( x ) ) j e s t o k r e [l o n a i c i g Ba
w o b s z a r z e x d" x d" b , - " d" y d" " , g d z i e : x i b s s k o Dc z o n e
0 0
C E L E M p r z y b l i |o n e g o r o z w i z y w a n i a r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h z w y c z a j n y c h j e s t o b l i c z e n i e
w a r t o [c i f u n k c j i y ( x ) d l a c i g u w a r t o [c i x = x i , d l a i = 1 , 2 , . . .
c z y l i z n a j d o w a n i e p u n k t ó w n a k r z y w e j c a Bk o w e j y ( x )
2 . M e t o d a E u l e r a
N i e c h b d z i e d a n e r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e z w y c z a j n e w y r a |o n e z a l e |n o [c i ( 1 ) ,
z w a r u n k i e m p o c z t k o w y m y ( x ) = y
0 0
M e t o d a E u l e r a p o l e g a n a z a s t p i e n i u k r z y w e j c a Bk o w e j y = y ( x ) p r z e c h o d z c e j p r z e z p u n k t
M ( x , y ) . , o d p o w i a d a j c y w a r u n k o m p o c z t k o w y m ,
0 0 0
Ba m a n M M M . . . o w i e r z c h o Bk a c h M ( x , y ) i = 0 , 1 , 2 , s k Ba d a j c a s i z o d c i n k ó w p r o s t y c h .
0 1 2 i i i
P u n k t r o z p o c z c i a i - t e g o o d c i n k a Ba m a n e j o k r e [l o n y j e s t p u n k t e m o s i g n i c i a p r z e z ( i - 1 ) - s z y
o d c i n e k p r o s t e j o d c i t e j x = x + i h
i 0
g d z i e : h - s t a By k r o k o b l i c z e D
P u n k t M 0 r o z p o c z c i a p i e r w s z e g o o d c i n k a Ba m a n e j j e s t o k r e [l o n y
w a r u n k i e m p o c z t k o w y m y ( x 0 ) = y 0 .
O d c i n k i M i M i + 1 i = 0 , 1 , 2 . . Ba m a n e j m a j w s p ó Bc z y n n i k k t o w y w y r a |o n y n a s t p u j c z a l e |n o [c i :
y i + 1 - y i
( 2 )
= f ( x i , y i ) = y ( 1 ) = y ( 1 ) ( x i )
i
h
Z e w z o r u ( 2 ) w y n i k a r ó w n i e |, z e w a r t o [c i y i m o |n a z n a l e z z n a s t p u j c y c h w z o r ó w
y i + 1 = y i + "y i
"y i = h · f ( x i , y i ) i = 0 , 1 , 2 . .
P r z y k Ba d 1 :
R o z w i z a r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e :
y ( 1 ) ( x ) = 2 x y ( x )
z w a r u n k i e m p o c z t k o w y m y ( 0 ) = 1 ; d Bu g o [ k r o k u h = 0 . 1
R o z w i z a n i e :
i x y f ( x , y ) = 2 x y
"y = h · f ( x , y )
0 0 1 0 0
1 0 , 1 1 0 , 2 0 , 0 2
2 0 , 2 1 , 0 2 0 , 4 0 8 0 , 0 4 0 8
3 0 , 3 1 , 0 6 0 8 0 0 , 6 3 6 4 8 0 , 0 6 3 6 5
4 0 , 4 1 , 1 2 4 4 5 0 , 8 9 9 5 6 0 , 0 8 9 9 6
5 0 , 5 1 , 2 1 4 4 1 1 , 1 2 1 4 4 1 0 , 1 1 2 1 4
6 0 , 6 1 , 3 3 5 8 5
P o s z e [c i u k r o k a c h u z y s k a n o w y n i k : 1 , 3 3 5 8 5
3 . M e t o d a R u n g e g o - K u t t y
M e t o d a R u n g e g o - K u t t y j e s t m e t o d j e d n o k r o k o w c h a r a k t e r y z u j c a s i t y m , |e p r z y o b l i c z a n i u
w a r t o [c i f u n k c j i w k o l e j n y m p u n k c i e x = x + i · h b i e r z e s i p o d u w a g r ó w n i e | p u n k t y
i 0
w e w n t r z i - t e g o k r o k u . W z a l e |n o [c i o d l i c z b y p u n k t ó w w z i t y c h p o d u w a g , m ó w i m y o r z d z i e
m e t o d y .
P o n i |e j o p i s a n o m e t o d R u n g e g o - K u t t y 4 - g o r z d u ( R K 4 ) .
N i e c h b d z i e d a n e r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e z w y c z a j n e z w a r u n k i e m p o c z t k o w y m , w y r a |o n e
z a l e |n o [c i ( 1 ) .
W y b i e r z m y k r o k c a Bk o w a n i a h i w p r o w a d zm y o z n a c z e n i a x = x + i · h o r a z y = y ( x ) d l a i = 0 , 1 , . . .
i 0 i i
W m e t o d z i e R K 4 k o l e j n e w a r t o [c i y s z u k a n e j k r z y w e j c a Bk o w e j y = y ( x ) z n a j d u j e m y z e w z o r u
i
y = y + "y
i + 1 i i
g d z i e :
1
i = 0 , 1 , 2 . .
” y i = ( k ( i ) + 2 k ( i ) + 2 k ( i ) + k ( i ) )
1 2 3 4
6
o r a z
k ( i ) = h Å"f ( x i , y i ) ,
1
1 1
k ( i ) = h Å"f x i + h , y i + k ( i ) ,
2 1
( )
2 2
1 1
k ( i ) = h Å"f x i + h , y i + k ( i ) ,
3 2
( )
2 2
( i )
k = h Å"f x i + h , y i + k ( i ) ,
( )
4 3
( i )
W a r t o [c i k n = 1 , 2 , 3 , 4 , s r ó |n e w k a |d y m k r o k u i .
n
W c e l u u Ba t w i e n i a k o r z y s t a n i a z m e t o d y R K 4 m o |n a p o d a n a s t p u j c y s c h e m a t r o z w i z y w a n i a
r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o :
i x y k = h · f ( x , y )
"y
( 0 ) ( 0 )
0 x y k k
0 0 1 1
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x + ½ h y + ½ k k 2 k
0 0 1 2 2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x + ½ h y + ½ k k 2 k
0 0 2 3 3
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
x + h y + k k k
0 0 3 4 4
1
· £ = "y
0
6
1 j a k w y |e j , a l e z e z m i a n i n d e k s u 0 n a 1
P r z y k Ba d 2 :
R o z w i z a r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e :
y ( 1 ) ( x ) = 2 x y ( x )
z w a r u n k i e m p o c z t k o w y m y ( 0 ) = 1 ; d Bu g o [ k r o k u h = 0 . 1
R o z w i z a n i e :
i x y k = h · f ( x , y )
"y
0 0 1 0 0
0 , 0 5 1 0 , 0 1 0 , 0 2
0 , 0 5 1 , 0 0 5 0 , 0 1 0 0 5 0 , 0 2 0 1
0 , 1 1 , 0 1 0 0 5 0 , 0 2 0 2 0 1 0 , 0 2
1
· £ = "y = 0 , 0 1 0 0 5
0
6
1 0 , 1 1 , 0 1 0 0 5 0 , 0 2 2 0 1 0 , 0 2 2 0 1
0 , 1 5 1 , 0 1 1 0 1 0 , 0 3 0 3 3 0 , 0 6 0 6 6
0 , 1 5 1 , 0 1 5 1 7 0 , 0 3 0 4 6 0 , 0 6 0 9 1
0 , 2 1 , 0 1 5 2 3 0 , 0 4 0 6 1 0 , 0 4 0 6 1
1
· £ = "y = 0 , 0 2 7 3 7
0
6
2 0 , 2 1 , 0 4 0 5 8
i t d . . . . d o k o Dc a z a k r e s u d l a x
i
4 . Z a d a n i a d o w y k o n a n i a
a ) d l a p o d a n e g o p r z e z p r o w a d z c e g o z a j c i a p r z y k Ba d u , r o z w i z a r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e m e t o d
E u l e r a .
b ) d l a p o d a n e g o p r z e z p r o w a d z c e g o z a j c i a z a d a n i a d o m o w e g o :
- n a p i s a p r o g r a m k o m p u t e r o w y r o z w i z u j c y p o d a n e r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e z w y c z a j n e p r z y
p o m o c y w y b r a n e j m e t o d y .
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