Politechnika Świętokrzyska
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Katedra Zastosowań Informatyki
Metody obliczeniowe  laboratorium
Opracował: dr inż. Andrzej Kułakowski
Instrukcja laboratoryjna nr 5: Różniczkowanie numeryczne
Data: 6.11.2012 r.
1. Wzór Taylora
Wzór na pochodną (dowolną) f(x) wyrażona za pomocą różnic wstecznych:
k=1 (1)
k=2 (2)
k=3 (3)
Tablica różnic wstecznych
x f(x)
f(x) f(x)
x0-4h f(x0-4h)
f(x0-3h)
f(x0-2h)
f(x0- h)
x0-3h f(x0-3h) f(x0)
f(x0-2h)
f(x0- h)
f(x0)
f(x0- h)
x0-2h f(x0-2h)
f(x0)
x0- h f(x0- h)
f(x0)
x0 f(x0)
Przykład
Dla funkcji f(x) = ln(x) oblicz wartość dokładną i w przybliżeniu dla 1-nej pochodnej w punkcie x0 =1;
x zmienia się od x = 0,6 do x = 1 z krokiem h=0,1
Tablica różnic wstecznych
X f(x)
f(x) f(x)
0,6 -0,51083
0,15415
-0,02062
0,00487
0,7 -0,35667
0,13353
-0,01575
0,8 -0,22314 -0,00154
0,11778
0,00333
0,9 -0,10536
-0,01242
0,10536
1 0
Wg (1)
Wartość dokładna: ln(x)(1)| x = 1
= x0
Błąd bezwzględny: r = |1 - 0,9988| = 0,0012
2. Wzór Stirlinga
oraz
Tablica różnic centralnych
x f(x)
3
x0-2h f(x0-2h)
�f ( x0- h)
�2 f ( x0-h ) 1
2
x0- h f(x0- h)
�3 f ( x0- h)
1
2
�f ( x0- h)
x0 f(x0)
�2 f ( x0)
2 �4 f ( x0)
1
1
x0+ h f(x0+ h)
�f ( x0+ h )
�3 f ( x0+ h)
2 �2 f ( x0+h)
2
x0+2h f(x0+ 2h)
3
�f ( x0+ h )
2
Przykład:
Dla funkcji f(x) = ln(x) oblicz wartość dokładną i w przybliżeniu dla 1-nej pochodnej w punkcie x0 =1;
x zmienia się od x = 0,8 do x = 1,2 z krokiem h = 0,1
Tablica różnic centralnych
X f(x)
0,8 -0,22314
0,11778
-0,01242
0,00237
0,9 -0,10536
0,10536
-0,01005
1 0 0,00062
0,095310
0,00175
1,1 0,09531
-0,00830
0,08701
1,2 0,18232
Wartość dokładna: ln(x)(1)| x= x0 = 1
r= |1-0,99992|=0,00008 tzn. ta metoda jest dokładniejsza
Zadania do wykonania w sprawozdaniu:
- wprowadzenie o różniczkowaniu
- listing programu do wybranej metody
- screeny z działanie programu dla wylosowanych punktów
- obliczenie i analiza błędów
Literatura:
instrukcja powstała na podstawie:
- slajdów dostępnych na serwerze
Katedry Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki
Wydziału Mechanicznego Technologicznego
Politechniki Śląskiej
- książek Wydawnictwa Politechniki Śląskiej