Politechnika Świętokrzyska
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Katedra Zastosowań Informatyki
Metody obliczeniowe  laboratorium
Instrukcja laboratoryjna nr 1: Błędy, Wartość Opracował: dr inż. Andrzej Kułakowski
Data: 1.06.2012 r.
wielomianu
Wersja robocza
1. Obliczanie błędów
Błędy
Błąd bezwzględny:
­Ä…=#"A-a#"
gdzie:
A  wartość dokładna
a - wartość przybliżona (zmierzona)
Błąd względny:
­Ä…
ºÄ…=
#"A#"
Przykład 1:
A=0,0005
a=0,0006
Metoda różniczki zupełnej:
Zadanie:
Wyznaczyć błąd danej funkcji, gdy dane są błędy wszystkich jej argumentów
i=n
" f
­Ä… y= Å"­Ä… xi
"
#" #"
" xi
i=1
Przykład 2:
Znalez
ć kres górny błędu bezwzględnego objętości kuli, jeśli jej średnica wynosi
d=3.7cm Ä…0.05cm, a pð =3.14Ä… 0.0016
RozwiÄ…zanie:
1Å"Ćąd
3
ObjÄ™tość kuli wynosi: traktujÄ…c pð i d jako wartoÅ›ci zmienne, obliczamy
V =
6
pochodne czÄ…stkowe:
"V 1Å"d =8.44
3
=
"Ćą 6
"V 3Å"Ćą d2=21.5
=
" d 6
Korzystając ze wzoru na metodę różniczki zupełnej, otrzymamy:
"V "V
­Ä…V = Å"­Ä…Ćą#"ƒÄ… Å"­Ä… d#"=8.44Å"0.0016ƒÄ…21.5Å"0.05H"1.1cm3
#" #"
#" #" #" #"
" Ćą " d
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
1Å"Ćąd H"27.4 cm3Ä…1.1cm3
3
V =
6
-
Problem odwrotny teorii błędów:
Zadanie:
jakie mogą być błędy bezwzględne argumentów funkcji,
aby błąd bezwzględny funkcji nie przekraczał zadanej wartości.
Problem odwrotny teorii błędów:
­Ä… y
­Ä… xi= i=1,2 ,‹Ä…, n.
" f
nÅ"
#" #"
" xi
Przykład 3:
PromieÅ„ podstawy walca wynosi r ð ð2 cm, a wysokość walca h ð ð3 cm.
Z jaką dokładnością bezwzględną należy określić r oraz h, żeby objętość walca V obliczyć z dokładnością do
0.1cm3?
RozwiÄ…zanie:
­Ä…V =0.1cm3
rH"2cm ­Ä…r
Dane: Szukane:
hH"3cm ­Ä…h
ĆąH"3.14 ­Ä…Ćą
V = Ćą r2 h
Problem odwrotny teorii błędów (cd. przykład):
Dla powyższych danych otrzymujemy w przybliżeniu:
"V
= 2Ćą r h = 37.7 cm2
" r
"V
= ĆąÅ"r2 = 12.6 cm2
"h
"V
= r2Å"h = 12.0 cm3
"Ćą
Problem odwrotny teorii błędów (cd. przykład):
Ponieważ n=3, to po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:
0.1
­Ä…r= "Ä…0.001
3Å"37.7
0.1
­Ä…h= "Ä…0.003
3Å"12.6
0.1
­Ä…Ćą= "Ä…0.003
3Å"12
2. Obliczanie wartości wielomianu:
n
W śą xźą=an xn ƒÄ… an-1 xn-1 ƒÄ… ï" ƒÄ… a0= ai xi , ai"R
"
n
i=0
Najwygodniej jest obliczać wartość Wn(x) korzystając z przekształconej postaci wielomianu
W śąÌąźą=śąï"śąśąanÌÄ… ƒÄ… an-1źąÌÄ… ƒÄ… an-2źąÌÄ… ƒÄ… ï" ƒÄ… a1źąÌÄ… ƒÄ… a0
n
Obliczanie wartości wielomianu  schemat Hoernera:
W praktyce obliczenia wartości wielomianu zgodnie z tym wzorem
przeprowadza się według tzw. schematu HQ
rnera w następujący sposób:
an an-1 an-2 ï" a0
ƒÄ… bnÌÄ… bn-1ÌÄ… ï" b1ÌÄ…
bn bn-1 bn-2 ï" b0 = W śąÌąźą
n
Obliczanie wartości wielomianu  schemat HQ
rnera (cd):
Przykład 4:
Obliczyć wartość wielomianu w punkcie:
W4(x) = x4  3.5x3 + 2x -1, dla x=2.5
1 -3.5 0 2 -1
+ 2.5 -2.5 -6.25 -10.625
--------------------------------------------------
1 -1.0 -2.5 -4.25 -11.625 = W4(2.5)
Odp: W4(2.5) = -11.625
3. Zadania do wykonania
a) dla podanego przez prowadzącego zajęcia przykładu, obliczyć błąd lub oszacować dokładność pomiarów.
b) dla podanego przez prowadzącego zajęcia zadania domowego:
- napisać program komputerowy obliczający wartość wielomianu w wybranym punkcie.