ÿþP r z y g o t o w a J o a n n a G r a b o w s k a n a p o d s t a w i e S z y m a Ds k i , D r ó b k a M a -
l a
t e m a t y k a w s z k o l e [r e d n i e j . P o w t ó r z e n i e i z b i ó r z a d a D
1 P o c h o d n a f u n k c j i
Z a ó |m y , |e f u n k c j a f j e s t o k r e [l o n a n a p r z e d z i a l e ( a , b ) o r a z |e x o " ( a , b ) ,
l
a "x j e s t l i c z b a , d l a k t ó r e j ( x o + "x ) " ( a , b ) . L i c z b e "x n a z y w a m y p r z y -
r o s t e m a r g u m e n t u , n a t o m i a s t r ó |n i c e f ( x 0 + "x ) - f ( x 0 ) n a z y w a m y p r z y -
"f f ( x 0 + "x ) - f ( x 0 )
r o s t e m w a r t o [c i f u n k c j i F i o z n a c z a m y "f . S t o s u n e k =
"x "x
n a z y w a m y i l o r a z e m r ó |n i c o w y m f u n k c j i f o d p o w i a d a j a c y m p r z y r o s t o w i a r -
g u m e n t o "x . I l o r a z r ó |n i c o w y m a p r o s t a i n t e r p r e t a c j e g e o m e t r y c z n a . D l a
u s t a l o n e g o x 0 i u s t a l o n e g o "x p u n k t y A = ( x 0 , f ( x 0 ) ) , B = ( x 0 + "x , f ( x 0 +
"x ) ) n a l e |a d o w y k r e s u f u n k c j i f . P r o s t a p r z e c h o d z a c a p r z e z e p u n k t y j e s t
t z w . s i e c z n a .
"f
I l o r a z r ó |n i c o w y j e s t r ó w n y t a n g e n s o w i k a t a j a k i s i e c z n a t w o r z y z
"x
o s i a x . J e s l i f u n k c j a f j e s t o r e [l o n a w p r z e d z i a l e ( a , b ) i x 0 " ( a , b ) i i s t -
n i e j e s k o Dc z o n a g r a n i c a l i m "x ’!0 f ( x 0 + "x ) - f ( x 0 ) , t o t e g r a n i c e n a z y w a m y
"x
p o c h o d n a f u n k c j i w p u n k c i e x 0 i o z n a c z a m y f 2 ( x 0 ) . W t y m p r z y p a d k u
m ó w i m y r ó w n i e |, |e f u n k c j a f j e s t r ó |n i c z k o w a l n a w p u n k c i e x 0 . Z d e f i n i -
c j i w y n i k a , |e p o c h o d n a f u n k c j i w p u n k c i e x 0 j e s t l i c z b a r z e c z y w i s t a , r ó w n a
"f
g r a n i c y p r z y "x d a |a c y m d o z e r a . C z e s t o s a d z i s i e , |e s t y c z n a d o k r z y w e j
"x
j e s t t o p r o s t a , k t ó r a m a z T a k r z y w a d o k j e d e n p u n k t w s p ó N i e
l a d n i e l n y .
j e s t t o p o p r a w n e o k r e [l e n i e s t y c z n e j , g d y | n p k a |d a p r o s t a r ó w n o l e g d o
l a
o s i s y m e t r i i p a r a b o l i m a z t a p a r a b o l a d o k j e d e n p u n k t w s p ó l n y , a l e
l a d n i e
s t y c z n a d o p a r b o l i n i e j e s t . S t y c z n a m o |n a o k r e [l i w n a s t e p u j a c y s p o s ó b :
J e [l i f u n k c j a f j e s t o k r e [l o n a w p u n k c i e x 0 i w p e w n y m p r z e d z i a l e , k t ó r e g o
[r o d k i e m j e s t x 0 , a t a k |e j e s t r ó |n i c z k o w a l n e w x 0 , t o s t y c z n a d o w y k r e s u
f u n k c j i f w p u n k c i e P = ( x 0 , f ( x 0 ) ) n a z y w a m y p r o s t a o r ó w n a n i u :
y - f ( x 0 ) = f 2 ( x 0 ) ( x - x 0 )
Z a p r z y j e c i e m t a k i e j d e f i n i c j i s t y c z n e j p r z e m a w i a n a s t e p u j a c e r o z u m o w a -
n i e . J e [l i "x d a |y d o z e r a , t o p u n k t B d a |y p o w y k r e s i e f u n k c j i d o p u n k t u
A . K a |d e m u p o p u n k t u B o d p o w i a d a s i e c z n a p r z e c h o d z a c a p r z e z B
l o |e n i u
i p r z e z A . Z a t e m s t y c z n a d o w y k r e s u f u n k c j i f w p u n k c i e A = ( x 0 , f ( x 0 ) )
m o |e m y t r a k t o w a j a k o g r a n i c z n e p o s i e c z n e j A B , g d y B d a z y p o
l o |e n i e
w y k r e s i e d o A .
S t a d w y n i k a , |e p o c h o d n a f u n k c j i f w p u n k c i e x 0 m o |n a i n t e r p r e t o w a
g e o m e t r y c z n i e j a k o w s p ó
l c z y n n i k k i e r u n k o w y s t y c z n e j d o w y k r e s u f u n k c j i F
w p u n k c i e A = ( x 0 , f ( x 0 ) ) .
1
2 P o c h o d n a j a k o f u n k c j a
2
N i e c h D f o z n a c z a z b i ó r w s z y s t k i c h a r g u m e n t ó w x f u n k c j i f , d l a k t ó r y c h i s t -
2
n i e j e p o c h o d n a f 2 ( x ) . R o z p a t r z m y f u n k c j e , k t ó r a k a |d e j l i c z b i e x " D f p r z y -
p o r z a d k o w u j e f 2 ( x ) . F u n k c j e t e n a z y w a m y p o c h o d n a f u n k c j i f i o z n a c z a m y
f . W t a k i m r a z i e p o c h o d n a f u n k c j i f j e s t f u n k c j a , n a t o m i a s t p o c h o d n a
f u n k c j i f w p u n k c i e x 0 j e s t l i c z b a . T e d w a p o j e c i a n a l z e |y o d r ó |n i a .
[ c f ( x ) ] 2 = c f 2 ( x )
[ f ( x ) + g ( x ) ] = f ( x ) + g ( x )
[ f ( x ) - g ( x ) ] = f ( x ) - g ( x )
[ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x )
f 2 ( x ) f 2 ( x ) g ( x ) - f ( x ) g 2 ( x )
=
g 2 ( x ) g 2 ( x )
g ( x ) = 0
2 . 1 P o c h o d n e n i e k t ó r y c h f u n c k j i
1 ) ( c ) = 0 , c - u s t a l o n a l i c z b a r z e c z y w i s t a
2 ) ( x a ) 2 = a x a - 1 ; a " R
3 ) ( s i n x ) 2 = c o s x
4 ) ( c o s x ) = - s i n x
1
5 ) ( t g x ) 2 =
c o s 2 x
1
6 ) ( c t g x ) 2 = -
s i n 2 x
7 ) ( e x ) 2 = e x
8 ) ( a x ) 2 = a x l n a , a " R + - 1
1
9 ) ( l n x ) 2 =
x
1
1 0 ) ( l o g a x ) 2 =
x l n a
2
3 P r z y k
l a d o w e z a d a n i a
3 . 1 Z a d a n i e 1
W y z n a c z y p o c h o d n a f u n k c j i f ( x ) = x 2 + 2 x - 1
R o z w i a z a n i e : A b y r o z i w a z a t o z a d a n i e w y z n a c z a m y i l o r a z r ó |n i c o w y
f u n k c j i .
f 2 ( x ) = l i m "x ’! 0 f ( x + "x ) - f ( x ) =
"x
2
= l i m "x ’! 0 [ ( x + "x ) + 2 ( x + "x ) - 1 ] - ( x 2 + 2 x - 1 ) =
"x
2
l i m "x ’! 0 [ ( "x ) + 2 x "x + 2 "x ) =
"x
l i m "x ’! 0 ( "x + 2 x + 2 ) = 2 x + 2
Z n a c z y t o , |e p o c h o d n a r o z p a t r y w n e j f u n k c j i f j e s t f u n k c j a f o k r e [l o n a
w z o r e m f 2 ( x ) = 2 x + 2 . I n a c z e j ( x 2 + 2 x - 1 ) 2 = 2 x + 2
W p r a k t y c e w y z n a c z a j a c p o c h o d n a f u n k c j i k o r z y s t a m y z o d p o w i e d n i c h
w z o r ó w i t w i e r d z e D u
l a t w i a j a c y c h o b l i c z e n i a , p o d a n y c h p o w y |e j .
3 . 2 Z a d a n i e 2
x 2 - 2 x + 3
W y z n a c z y p o c h o d n a f u n k c j i f ( x ) =
x 2 + x + 1
R o z w i a z a n i e :
( x 2 - 2 x + 3 ) 2 ( x 2 + x + 1 ) - ( x 2 + x + 1 ) 2 ( x 2 - 2 x + 3 )
f 2 ( x ) = =
( x 2 + x + 1 ) 2
( 2 x - 2 ) ( x 2 + x + 1 ) - ( 2 x + 1 ) ( x 2 - 2 x + 3 )
= =
( x 2 + x + 1 )
3 x 2 - 4 x - 5
=
( x 2 + x + 1 ) 2
3 . 3 Z a d a n i e 3
W y k a z a , |e ( e x ) 2 = e x
R o z w i a z a n i e : ( e x ) 2 = l i m "x ’!0 e x + "x - e x =
"x
= l i m "x ’!0 e x e "x - 1 =
"x
l i m "x ’!0 e x l i m "x ’!0 e "x - 1
"x
= e x l i m "x ’!0 e "x - 1
"x
W y r a |e n i e l i m "x ’!0 e "x - 1 = 1 .
"x
3
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