plik


ÿþPrzygotowa Joanna Grabowska na podstawie SzymaDski, Dróbka  Ma- la tematyka w szkole [redniej. Powtórzenie i zbiór zadaD 1 Pochodna funkcji Za ó|my, |e funkcja f jest okre[lona na przedziale (a, b) oraz |e xo " (a, b), l a "x jest liczba, dla której (xo + "x) " (a, b). Liczbe "x nazywamy przy- rostem argumentu, natomiast ró|nice f(x0 + "x) - f(x0) nazywamy przy- "f f(x0+"x)-f(x0) rostem warto[ci funkcji F i oznaczamy "f. Stosunek = "x "x nazywamy ilorazem ró|nicowym funkcji f odpowiadajacym przyrostowi ar- gument o "x. Iloraz ró|nicowy ma prosta interpretacje geometryczna. Dla ustalonego x0 i ustalonego "x punkty A = (x0, f(x0)), B = (x0 +"x, f(x0 + "x)) nale|a do wykresu funkcji f. Prosta przechodzaca przez e punkty jest tzw. sieczna. "f Iloraz ró|nicowy jest równy tangensowi kata jaki sieczna tworzy z "x osia x. Jesli funkcja f jest ore[lona w przedziale (a, b) i x0 " (a, b) i ist- nieje skoDczona granica lim"x’!0 f(x0+"x)-f(x0), to te granice nazywamy "x pochodna funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f2 (x0). W tym przypadku mówimy równie|, |e funkcja f jest ró|niczkowalna w punkcie x0. Z defini- cji wynika, |e pochodna funkcji w punkcie x0 jest liczba rzeczywista, równa "f granicy przy "x da|acym do zera. Czesto sadzi sie,|e styczna do krzywej "x jest to prosta, która ma z Ta krzywa dok jeden punkt wspó Nie ladnie lny. jest to poprawne okre[lenie stycznej, gdy| np ka|da prosta równoleg do la osi symetrii paraboli ma z ta parabola dok jeden punkt wspólny, ale ladnie styczna do parboli nie jest. Styczna mo|na okre[li w nastepujacy sposób: Je[li funkcja f jest okre[lona w punkcie x0 i w pewnym przedziale, którego [rodkiem jest x0, a tak|e jest ró|niczkowalne w x0, to styczna do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)) nazywamy prosta o równaniu: y - f(x0) = f2 (x0)(x - x0) Za przyjeciem takiej definicji stycznej przemawia nastepujace rozumowa- nie. Je[li "x da|y do zera, to punkt B da|y po wykresie funkcji do punktu A. Ka|demu po punktu B odpowiada sieczna przechodzaca przez B lo|eniu i przez A. Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie A = (x0, f(x0)) mo|emy traktowa jako graniczne po siecznej AB, gdy B dazy po lo|enie wykresie do A. Stad wynika, |e pochodna funkcji f w punkcie x0 mo|na interpretowa geometrycznie jako wspó lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji F w punkcie A = (x0, f(x0)). 1 2 Pochodna jako funkcja 2 Niech Df oznacza zbiór wszystkich argumentów x funkcji f, dla których ist- 2 nieje pochodna f2 (x). Rozpatrzmy funkcje, która ka|dej liczbie x " Df przy- porzadkowuje f2 (x). Funkcje te nazywamy pochodna funkcji f i oznaczamy f . W takim razie pochodna funkcji f jest funkcja, natomiast pochodna funkcji f w punkcie x0 jest liczba. Te dwa pojecia nalze|y odró|nia. [cf(x)]2 = cf2 (x) [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) [f(x) - g(x)] = f (x) - g (x) [f(x) g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) f2 (x) f2 (x)g(x)-f(x)g2 (x) = g2 (x) g2(x) g(x) = 0 2.1 Pochodne niektórych funckji 1) (c) = 0, c - ustalona liczba rzeczywista 2) (xa)2 = axa-1; a " R 3) (sin x)2 = cos x 4) (cos x) = -sin x 1 5) (tgx)2 = cos2 x 1 6) (ctgx)2 = - sin2 x 7) (ex)2 = ex 8) (ax)2 = axlna, a " R+ - 1 1 9) (lnx)2 = x 1 10) (logax)2 = xlna 2 3 Przyk ladowe zadania 3.1 Zadanie 1 Wyznaczy pochodna funkcji f(x) = x2 + 2x - 1 Rozwiazanie: Aby roziwaza to zadanie wyznaczamy iloraz ró|nicowy funkcji. f2 (x) = lim "x ’! 0f(x+"x)-f(x) = "x 2 = lim "x ’! 0[(x+"x) +2(x+"x)-1]-(x2+2x-1) = "x 2 lim "x ’! 0[("x) +2x"x+2"x) = "x lim "x ’! 0("x + 2x + 2) = 2x + 2 Znaczy to, |e pochodna rozpatrywnej funkcji f jest funkcja f okre[lona wzorem f2 (x) = 2x + 2. Inaczej (x2 + 2x - 1)2 = 2x + 2 W praktyce wyznaczajac pochodnafunkcji korzystamy z odpowiednich wzorów i twierdzeD u latwiajacych obliczenia, podanych powy|ej. 3.2 Zadanie 2 x2-2x+3 Wyznaczy pochodna funkcji f(x) = x2+x+1 Rozwiazanie: (x2-2x+3)2 (x2+x+1)-(x2+x+1)2 (x2-2x+3) f2 (x) = = (x2+x+1)2 (2x-2)(x2+x+1)-(2x+1)(x2-2x+3) = = (x2+x+1) 3x2-4x-5 = (x2+x+1)2 3.3 Zadanie 3 Wykaza, |e (ex)2 = ex Rozwiazanie: (ex)2 = lim"x’!0 ex+"x-ex = "x = lim"x’!0 ex e"x-1 = "x lim"x’!0 ex lim"x’!0 e"x-1 "x = ex lim"x’!0 e"x-1 "x Wyra|enie lim"x’!0 e"x-1 = 1. "x 3

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
09 funkcje zmiennej rzeczywistej 3 4 pochodna funkcji
6, 7 zastosowania pochodnej funkcji
8 pochodne funkcji
C05 Ciągłość i pochodna funkcji
pochodne funkcji
Zestaw 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej
pochodna funkcji
Pochodne funkcji elementarnych
pochodne funkcji
pochodne funkcji
pochodne funkcji wzory

więcej podobnych podstron