3545337082

18 I. Dwuwymiarowe transformacje geometryczne

Zwróćmy także uwagę na fakt, że złożenie przekształceń M_x i M_y jest równoważne obrotowi punktu o kąt 180° (-180°).

1.4.5. Odwrotne transformacje geometryczne

Do wszystkich transformacji geometrycznych opisanych w poprzednich podpunktach (1.4.1 - 1.4.4) istnieją transformacje odwrotne, które są określone zależnościami

(1.51)

1.5. Przekształcenia złożone

Złożone transformacj e geometryczne mogą być skonstruowane z przekształceń elementarnych opisanych w poprzednim punkcie. To samo dotyczy złożonych przekształceń prostokątnego układu współrzędnych, którego elementarne przekształcenia zostały podane w p. 1.2. Ponieważ w grafice komputerowej o wiele częściej spotykamy się z koniecznością wykonania złożonych przekształceń współrzędnych punktów względem ustalonego (prostokątnego) układu współrzędnych, w dalszym ciągu pominiemy problem złożonych przekształceń samego układu odniesienia. Na podstawie analogii odpowiednich przekształceń elementarnych i materiału dotyczącego złożonych transformacj i geometrycznych (przedstawionego poniżej), Czytelnik z pewnością potrafi samodzielnie skonstruować odpowiednie wzory dla złożonych przekształceń układu współrzędnych.

Przy opisywaniu przekształceń złożonych jest wygodnie posługiwać się współrzędnymi jednorodnymi (zob. p. 1.2.1). Wówczas przekształcenia te można zdefiniować za pomocą iloczynów odpowiednich macierzy przekształceń elementarnych i wektora zawierającego wspomniane współrzędne. Przypominamy, że współrzędne punktu po przekształceniu oznaczamy primami, tj- (*',/)•

1.5.1. Złożenie dwu translacji, obrotów i skalowań

Jeśli punkt P zostanie przesunięty o wektor v, do punktu P", po czym punkt P" zostanie przesunięty o wektor v₂ do punktu P', to na podstawie wzoru (1.29) mamy

P" = T (P), P' = T_y(P"),

skąd

(1.52)

p' = r_V2[r_v(P)] = r_y2°T_y(P).

Przyjmując, że