3754969719

Rozdział 1

Teoria krzywych

Oznaczenia. Literą I będziemy oznaczać przedziały (zazwyczaj domknięte) [a, b] w R. Niech dana będzie funkcja różniczkowalna f:I—+ R”, oraz niech to 6 I. Pochodną / w punkcie to oznaczamy f'(to) i rozumiemy jako wektor: lim^o    .

1.1 Podstawowe definicje

Definicja 1.1.1 (krzywa i parametryzacja krzywej). Krzywą 7 w przestrzeni Rⁿ nazywamy dowolny ciągły obraz odcinka I = [a, b].

Funkcję ciągłą c: / —> Rⁿ nazywamy parametryzacją krzywej 7, o ile 7 = c(I).

W dalszej części tego opracowania będziemy utożsamiać (tam gdzie to możliwe) krzywą i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy będziemy mówić krzywa). Krzywe oznaczać będziemy literami c lub 7.

Będziemy zakładać (jeśli nie napisano inaczej), że rozważane przez nas krzywe są klasy C^m dla pewnego m > 0.

Definicja 1.1.2 (krzywa regularna). Mówimy, że krzywa 7 jest regularna (ma opis regularny), gdy:

V_te/7'(^) 7^ 0.

Przykład 1.1.3. Niech dane będą krzywe, zadane przez parametryzacje: 71 (t) = (cos t, sini), t E [0,27r]; 72(t) = (cos — 2t, sin — 2t), t 6 [0, 7r]. Obie parametryzacje opisują tą samą krzywą. Z drugiej strony, zauważmy, że 71 (0) = 72(0) = (1,0), oraz 7i(0) = (0,1), 72(0) = (0, —2). Pochodne wyznaczają tutaj wektory styczne. W obu przypadkach są one równoległe, jednak różnią się, zależnie od parametryzacji.

Definicja 1.1.4 (długość krzywej). Niech 7 : [a, /3\ —> Rⁿ będzie krzywą. Długość krzywej 7 oznaczamy przez L(7) i definiujemy:

5