4292417167

Krok 2 - uzmienniamy stałą

C z otrzymanego wyniku jest stałą, my jednak potraktujemy ją jaku funkcję od x, czyli C = C{x)

(skrótową odpowiedzią na pytanie dlaczego tak wolno zrobić jest: bo to działa). Obliczamy stąd:

y' = (C(x) • e*²)' = C'(x)e^x2 + C(x)2xe^x2

Krok 3 - wstawiamy wartości y i y' do wyjściowego równania

C'(x)e^x2 + C(x)2xe^x2 - 2xCe^x2 = x³

Jeśli zrobiliśmy to prawidłowo, zawsze skrócą się wyrażenia z C(x) i pozostaje nam wyznaczyć C'(x), a następnie scałkować otrzymaną równość:

C'(x) = x³e~^x2 C(x) = f x³e~^x2dx = -e~^x2(x² + 1) + c

Krok 4 - otrzymaną wartość C wstawiamy do rozwiązania z kroku 1

y = (-e^_x (a:² + 1) + c) ■ e~^x = ce~^x - x² - 1

E) Równanie typu y' = p(x)y + q(x)yⁿ (Bernoulliego)

W takim wypadku stosujemy podstawienie u = y'~", które sprowadza nam równanie do liniowego. Przykład: xy' - y = x³y⁴

W tym wypadku n = 4, zatem podstawiamy u = y~³, skąd u' = -3y^_4y'. Jeśli pomnożymy wyjściowe równanie stronami przez y^-4, to otrzymamy: xy-‘*y’ - y~³ = x³

więc po wstawieniu nowej zmiennej dostajemy:

-\xu' -u = x³

a to jest już równanie liniowe.

Ćwiczenia

8.1

19