5469091768

(3) A/(z₀) = f(z) - f(zo) = Au(x₀, y₀) + iAv(x₀, yo)-

Podstawiając (1) i (2) do (3) otrzymamy:

A/, . Au.    .    . Av .    .

~Aż^' = ^(zo,2/o) + *^(zo,2/o) =

AjA oi(|Az|)

( dv

Ax dv.

t\y\ ,m(|Az|) _

( du

,dv

i Ax (du

\dx ,dv.

"Az

Az

, l\y Oi(|A-|)    ..<n(|Az|)

dy    dy '

Korzystając z założenia, że funkcje u(x,y) i v(x,y) spełniają warunki Cauchy’ego-Riemanna

dv,

\dx

' Az

Az

Az

~^o,yo) = ~_/(xo,vo) i ^(*o,ito) =—(*«,»,)

otrzymamy, że

A /    (du    ,dv \(Ax + iAy\

Az ~° “ (^(*»,So)+^(*o,!/o)J ( Az J ⁺

Ol(|Az|) , _;o₂(|A2|)

Az

Az

A/    /du.    ,dv.    \

iSo A^^W = 2» ( fc^-Sto) + Sto) ) +

Ol(l^A^l) . ,02(|AzJ)

Az

Stąd wynika, że istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego w punkcie z₀, czyli istnieje pochodna f(zo)-    □

Przykład 2.3

Dla jakich punktów z € C funkcja /(z) — zz — \z\² — x² + y² ma pochodną?

Re/(z) = u(x,y) = x² + y², Im/(z) = v(x,y) = 0. Funkcje u i u są różniczkowalne dla V(x, y) € R². Sprawdzamy warunki C-R.

Stąd

u'_x = 2x, u'_y — 2 y, v'_x = v'_y — 0. u_x = v'_y x = 0, u'_y = —v'_x & y = 0.

Zatem warunki Cauche’go Riemanna są spełnione tylko w punkcie zq = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spełniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie zo = 0 spełnione sa również warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji /. Pochodną funkcji policzymy z definicji.

/'(O) — lim ~^^(z) ~ ^⁽⁽¹)    I_im — — lim z — 0.

2-»0 z — o    2->0 Z 2-»0

12