5826503880

Gradient i Hesjan

Gradientem V_xF(x) funkcji F :    —► £/?, nazywamy S-wymiarowy wektor pochodnych

cząstkowych po wszystkich zmiennych funkcji F, natomiast Hesjanem nazywamy macierz H(x) pochodnych cząstkowych drugiego rzędu o wymiarach S x S:

dF		a^2F	a^2F	a^2F
dx\ 8F		dx\dx\ d^2F	dx\dx2 d^2F	dx\dxs d^2F
dx2	, tf(x) =	dx2dx\	dX2dX2	dx2dxs
dF		d^2F	&F	a^2F
dxs		. dxsdxi	dxsdx2	dxsdxs

Warunek wystarczający na istnienie ekstremum w punkcie x*

Załóżmy, że V_xF(x*) = 0. Wówczas:

•    jeżeli macierz H(x*) jest dodatnio określona, to F ma minimum loklane w punkcie x*

•    Jeżeli macierz H(x*) jest ujemnie określona, to F ma maksimum loklane w punkcie x*

•    Jeżeli macierz H(x*) nie jest ani ujemnie, ani dodatnio półokreślona, to F nie ma ekstremum w punkcie x*

Uwaga: jeżeli macierz H(x*) jest tylko dodatnio (ujemnie) półokreślona, to nie jest możliwe ustalenie, czy funkcja F ma ekstremum loklane w punkcie x* czy też nie ma (obie sytuacje mogą mieć miejsce).

Forma kwadratowa jest wypukła (wklęsła) jeżeli jest dodatnio (ujemnie) określona.

9