720154762

Rozdział 2

Ideały i ich własności 2.1 Pojęcie ideału i operacje na ideałach

Wprowadzimy teraz pojęcie, które odgrywa w teorii pierścieni podobną rolę jak podgrupy normalne w teorii grup. W szczególności to właśnie za pomocą tego typu podzbiorów będziemy konstruować pierścienie ilorazowe.

Definicja 2.1.1 (ideał). Podzbiór I C P pierścienia P nazywamy ideałem w P, jeśli:

(1)    (/, +) jest podgrupą (P, +),

(2)    dla dowolnych: a E I, r E P zachodzi a-r E I (warunek wciągania)

Jeśli I jest ideałem w P, to piszemy I < P. Ideał I nazywamy właściwym, jeśli I ^ P zaś nietrywialnym gdy I ^ {0}.

Podobnie jak w przypadku dzielników zera i jedności, można też mówić o ideałach lewostronnych (prawostronnych).

Analogicznie jak w przypadku grup przecięcie dowolnej liczby ideałów jest ideałem (suma mnogościowa ideałów nie musi być ideałem, wszak nie musi być podgrupą grupy addytywnej pierścienia). Własność ta prowadzi do określenia (znów analogicznie jak w grupach) pojęcia ideału generowanego przez zbiór.

Definicja 2.1.2 (ideał generowany przez zbiór). Jeśli A jest podzbiorem pierścienia P, to przecięcie wszystkich ideałów pierścienia P zawierających podzbiór A nazywamy ideałem generowanym przez zbiór A, innymi słowy

{A),= n i-

I<P:ACI

W szczególności, jeśli A — {ai,..., a_n}, to piszemy (A) — (ai,..., a_n).

Definicja 2.1.3 (pierścień (dziedzina) ideałów głównych). Jeśli P jest pierścieniem, to mówimy, że ideał I < P jest główny, jeśli istnieje takie a E P, że I = (a). Mówimy, że P jest pierścieniem ideałów głównych, jeśli każdy ideał w P jest główny. Dziedziną ideałów głównych nazywamy pierścień ideałów głównych, który dodatkowo jest całkowity.

9