Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
4. RÓWNOWAGA RYNKOWA (CZ
ŚCIOWA) I OGÓLNA
W teorii ekonomii rozróżnia się modele równowagi nawiązujące do trzech definicji1:
1. walrasowska  równowaga ogólna oznacza gospodarkę w  stanie spoczynku , tj.
bezczasowo wyraża się w wielkości i strukturze produkcji, czynników produkcji i
poziomie cen, w którym popyt na produkcję i czynniki produkcji jest równy ich
podaży. Nawiązuje do optimum Pareta, ponieważ nie występują tutaj podmioty
zainteresowane zmianą tego stanu. Istnieje również całkowite podporządkowanie
mechanizmowi rynkowemu z wykluczeniem ingerencji zewnętrznej;
2. neumannowska  gospodarka znajduje się w równowadze, jeśli może
równomiernie (np. ze stałą stopą) zwiększać produkcję przy niezmienionej
strukturze, przy czym zostaje zachowana pełna zgodność wzrostu
technologicznego z ekonomicznym.
3. neoklasyczna koncepcja równowagi w wieloczynnikowych modelach wzrostu,
pośrednia między walrasowską i neumannowską, zgodnie z którą gospodarka
znajduje się w równowadze, jeżeli umożliwia równomierny wzrost wszystkich
podstawowych wielkości ekonomicznych: czynników produkcji, produkcji (dochodu)
i konsumpcji.
1. Równowaga rynkowa (cząstkowa)  model liniowy
Algebraicznie:
Qd = Qs Qd = a - bP (a,b>0) Qs = - c + dP (c,d>0)
P
Qs = - c+dP
Pe
P1
Qd = a-bP
0 Qd=Qs Qd,Qs
2.2. Równowaga rynkowa
Rozwiązanie modelu to otrzymanie wartości rozwiązań dla trzech zmiennych
endogenicznych: Qd, Qs i P. Wartości rozwiązań podstawione do trzech równań czynią z nich
układ prawdziwych stwierdzeń.
1
E. Panek, op. cit., s. 21.
1
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
a + c
b(a + c) a(b + d) - b(a + c) ad - bc
Pe =
Qe = a - = =
b + d
b + d b + d b + d
Ponieważ (b+d) jest dodatni, więc aby Q było dodatnie, licznik (ad-bc) również musi być
dodatni. Model ma sens ekonomiczny, gdy zawiera dodatkowy warunek ad>bc.
Jeżeli zbiór punktów na krzywych popytu i podaży oznaczy się odpowiednio D i S,
wtedy stosując symbol Q = Qd = Qs można zapisać dwa zbiory i ich przecięcie jako:
D={(P,Q|Q = a - bP} S={P,Q|Q = - c + dP} D)"S = (Pe,Qe)
Zbiór, który jest częścią wspólną, zawiera w tym wypadku tylko jeden element: parę
uporządkowaną (Pe,Qe). Równowaga rynkowa jest jedyna.
Edp > Esp
S
P0
P2
Pe 1 2 3 4 5 t
P1
D
Q
0 Q1 Q3 Qe Q4 Q2 Q0
Gasnące oscylacje w modelu pajęczyny (rynek stabilny)
P
S
P0
Pe t
1 2 3
P1
D
0 Q2 Qe Q1 Q
Wybuchowe oscylacje (rynek niestabilny)
2
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
P
S
P0
Pe t
P1 1 2 3
D
0 Q1 Qe Q0 Q
Oscylacje jednostajne
Model rynku dwóch dóbr
Zakłada się, że funkcje popytu i podaży są liniowe.
Qd1  Qs1 = 0 Qd1 = a0 + a1P1 + a2P2 Qs1 = b0 + b1P1 + b2P2
Qd2  Qs2 = 0 Qd2 = ą0 + ą1P1 + ą2P2 Qs2 = �0 + �1P1 + �2P2.
Eliminując zmienne, tj. podstawiając równanie drugie i trzecie do pierwszego oraz piąte i
szóste do czwartego, redukuje się model do dwu równań z dwiema zmiennymi:
(a0  b0) + (a1  b1)P1 + (a2  b2)P2 = 0
(ą0  �0) + (ą1  �1)P1 + (ą2 - �2)P2 = 0
Ponieważ w modelu znajduje się aż 12 parametrów należy wprowadzić uproszczenia:
ci a" ai - bi ł a" ąi - �i (i = 0,1,2).
Teraz równania przyjmują postać:
c1P1 +c2P2 = -c0 ł1P1 + ł2P2 = -ł0,
co może być rozwiązane przez dalszą eliminację zmiennych. Z pierwszego równania wynika
c2ł - c0ł
- (c0 + c1P1)
0 2
P1 =
P2 =
. Po podstawieniu do drugiego równania otrzymuje się: .
c2 c1ł - c2ł
2 1
Należy zauważyć, że P1  tak jak to powinno być dla wartości rozwiązania  jest wyrażone
jedynie za pomocą parametrów modelu.
c0ł - c1ł
1 0
Podobnie znajduje się cenę równowagi drugiego dobra: P2 = .
c1ł - c2ł
2 1
Aby wartości te miały sens, należy nałożyć na model pewne warunki:
1. wspólny mianownik jest różny od zera, tzn. c1ł2 `" c2ł1,
2. aby zapewnić dodatniość, licznik musi mieć taki sam znak jak mianownik.
3
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
Przypadek n zmiennych (analiza równowagi globalnej)
Jeśli wszystkie dobra w gospodarce zostaną włączone do ogólnego modelu rynku, rezultatem
będzie walrasowski rodzaj modelu równowagi ogólnej, w którym nadwyżkowy popyt na
każde dobro jest traktowany jako funkcja cen wszystkich cen w gospodarce. Niektóre ceny
mogą mieć zerowe współczynniki; nie odgrywają wówczas żadnej roli przy określaniu
nadwyżkowego popytu na pewne dobro.
Wynika to z prawa Walrasa, który stwierdził, że równowaga ogólna na
konkurencyjnych n rynkach wystąpi, jeśli wielkość popytu zrówna się
wielkością podaży na n-1 rynkach, to wówczas również wielkość podaży
zrówna się z wielkością popytu na n  tym rynku.
Dzieje się tak, ponieważ:
1. dochody gospodarstw domowych równają się płatnościom firm za usługi pracy
i kapitału (czynników wytwórczych)
2. dochody gospodarstw równają się wydatkom na dobra konsumpcyjne, zatem
3. całkowite wydatki gospodarstw domowych równają się płatnościom za usługi
czynników wytwórczych.
Qdi = Qdi(P1, P2, ...Pn) Qsi = Qsi(P1,P2, ....Pn) (i = 1,2,....,n).
Ze względu na indeks, te dwa równania reprezentują całość złożoną z 2n równań
zawartych w modelu (funkcje te muszą być liniowe).
Sam warunek równowagi składa się z n równań: Qdi  Qsi = 0.
Po podstawieniu Qdi(P1,P2,...,Pn)  Qsi(P1,P2,...,n) = 0 (i=1,2,...n).
Ponadto, ponieważ Ei a" Qdi  Qsi, gdzie Ei również musi być funkcją wszystkich n cen,
powyższy układ można zapisać jako: Ei(P1,P2,...Pn) = 0 (i=1,2,..,n).
Rozwiązanie tego układu n równań, jeśli rzeczywiście istnieje, wyznacza n cen
równowagi �łPi, a wówczas�łQi mogą być obliczone z funkcji popytu lub podaży.
Należy podkreślić znaczenie niesprzeczności i funkcjonalnej niezależności jako dwóch
wstępnych warunków zastosowania metody liczenia równań i niewiadomych. Aby stosować
tę metodę trzeba sprawdzić, że:
1. spełnienie każdego z równań modelu nie będzie wykluczało spełnienia innego,
2. żadne równanie nie jest zbędne, tj. każda funkcja służy do opisu jednego aspektu
sytuacji rynkowej.
4
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
Prosty model wymiany  skrzynka Edgewortha
założenia:
1. towary można nabyć tylko poprzez dobrowolną
wymianę, tj. na rynku znajduje się n towarów, którymi
handluje m handlowców;
2. każdy handlowiec ma pewien początkowy koszyk
towarów konsumpcyjnych doskonale podzielnych,
czyli: ak = (a1k, & , ank) e" 0, k = 1, & , m
3. nie ma przymusu zawierania transakcji i nie można
zabronić dokonania korzystnej wymiany koszyka
początkowego na inny, czyli dążąc do wymiany
handlowiec kieruje się swoją relacją preferencji:
Pk, k = 1, & , m
4. racjonalne zachowanie handlowców polega tym, że
godzą się jedynie na wymianę, gdy nowy koszyk
towarów daje im nie mniejszą użyteczność niż koszyk
początkowy;
5. handlowcy posiadają pełną informację rynkową pod
postacią ciągu par (Pk, ak), k = 1,& , m.
6. wymiana jednych towarów na drugie występuje bez
udziału pieniądza;
Wówczas
alokacją dopuszczalną nazywa się każdy (n�"m)-wymiarowy
m m
k
xk =
" "a
wektor x = (x1, .., xm), spełniający warunek .
k =1 k =1
Zbiór wszystkich alokacji dopuszczalnych, odpowiadających
wyjściowej alokacji a = (a1, & , am) oznacza się F(a) i definiuje:
m m
n�"m k k
F(a) = {" R+
"x = "a }
k =1 k =1
Handlowcy mogą tworzyć koalicje, blokujące koalicje dopuszczalne, lecz
sprzeczne z preferencjami określonej grupy (koalicji), czyli:
Alokację x"F(a) nazywa się blokowaną przez koalicję S ą" {1, & ,m},
jeżeli istnieje taka alokacja y" F(a), że:
5
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
k
yk =
" "a
,
k"S k"S
" k"S yk " xk oraz przynajmniej dla jednego k " S yk {" xk.
Jeśli handlowcy w ramach koalicji S wymieniają się koszykami
między sobą, to realizują alokację y i w wyniku takiej wymiany żaden
uczestnik koalicji S nie znajdzie się w sytuacji gorszej niż w
przypadku alokacji x, a przynajmniej jeden znajdzie się w sytuacji
lepszej.
Dla handlowców spoza koalicji zablokowanie alokacji może okazać
się niekorzystne, ponieważ ograniczona jest ich swoboda wyboru, w
rezultacie dla k "S, spełniony będzie warunek xk {" yk.
Ponieważ alokacje blokowane nie mogą być dobrowolnie realizowane
przez wszystkich handlowców, to realizowane mogą być tylko te, dla
których nie istnieje koalicja mogąca je zablokować.
Jądrem wymiany jest zbiór C(a) złożony ze wszystkich alokacji
nieblokowanych.
Alokacja x " F(a) spełnia optimum Pareta (Pareto  optymalna), jeżeli
nie istnieje żadna inna alokacja y " F(a) taka, że:
yk " xk , k = 1, & , m;
yk {" xk przynajmniej dla jednego k" {1, ..,m}.
Inaczej, alokacja x = (x1, & ,xm) jest Pareto  optymalna, jeżeli nie
istnieje alokacja y = (y1, ..,ym), która dla wszystkich handlowców jest
nie gorsza od x, a przynajmniej dla jednego handlowca jest lepsza.
Każda alokacja nieblokowana jest Pareto  optymalna, stwierdzenie
odwrotne jest nieprawdziwe. Spełnione są zatem inkluzje:
C(a) ą" P(a) ą" F(a),
ponieważ alokacja Pareto  optymalna x"F(a) dla pewnego k, gdy
zachodzi ak{"xk, byłaby blokowana przez k-tego handlowca
(tworzącego jednoosobową koalicję), gdyż wolałby on zachować
koszyk ak niż wymienić go na xk.
6
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
Po zrealizowaniu jakiejkolwiek alokacji x"C(a) handlowcy nie będą
już w stanie znalez
ć alokacji lepszej dla choćby jednego z nich i nie
gorszej dla pozostałych. Tym samym nie będą skłonni do
jakiejkolwiek dalszej wymiany dóbr.
7. dodatkowe założenie o dwóch handlowcach
wymieniających dwa dobra, tj. wyjściową alokację opisuje
czterowymiarowy wektor a = (a1, a2), gdzie a1 = (a11, a21) jest
wyjściowym handlowca pierwszego, natomiast a2 = (a12, a22)
jest wyjściowym koszykiem handlowca drugiego.
Wektor a1 +a2 = (a11 +a12, a21 + a22) jest wektorem całkowitej
podaży obu towarów.
Zbiór alokacji dopuszczalnych F(a), krzywą kontraktową i jądro
wymiany można przeanalizować za pomocą skrzynki Edgewortha.
a21 + a22 a12 02
" x = (x1, x2)
a = (a1, a2)
a21 a22
"
01 a11 a11 + a12
Ograniczenia wyboru obu dóbr wynoszą odpowiednio:
a11 + a12 i a21 + a22. Każdy punkt w prostokącie (np. a i x) odpowiada
pewnemu dopuszczalnemu podziałowi wszystkich dóbr na rynku.
7
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
8. krzywe obojętności obu konsumentów, odpowiadające ich
preferencjom tworzą mapy silnie wypukłe
x2 02
h
g
c
b a
01 x1
Zbiór wszystkich nieblokowanych alokacji, czyli jądro wymiany C(a)
jest więc tym fragmentem krzywej kontraktowej. Wybór przez
handlowców jakiejkolwiek alokacji należącej do jądra C(a) jest
równoznaczny z taką redystrybucją towarów, że każda propozycja jej
zmiany spotka się ze sprzeciwem jednego z handlowców. W
szczególności zablokowana zostanie nawet propozycja osiągnięcia
innej alokacji należącej do jądra C(a).
Wielkość i położenie jądra zależy od alokacji wyjściowej (jeśli a, to
między g i h).
Najbardziej znanym współcześnie modelem odpowiadającym na to pytanie dotyczące relacji
cen zapewniających równowagę ogólną jest model rynku dóbr konsumpcyjnych
Arrowa  Hurwicza, w którym zakłada się, że:
1. kupcy w liczbie m przynoszą na rynek n towarów, przy czym
ak = (a1k, & ,ank) oznacza koszyk towarów dostarczanych na rynek
przez k-tego kupca, przez xk = (x1k, & ,xnk) oznacza się koszyk
towarów, który jest on gotów nabyć, a p = (p1, & ,pn)  wektor cen
towarów;
2. kupcy nie dysponują żadnymi dochodami poza tymi, które uzyskują
ze sprzedaży swoich zapasów towarów;
8
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
3. wartość nabywanego przez kupca koszyka towarów x = (x1,& ,xn) o
wartości )#p,x*# = p1x1 + & + pnxn nie przekracza wartości towarów
przez niego sprzedanych )#p,ak*# = p1a1k + & + pnank, czyli
dla k = 1,& ,m spełniony jest warunek )#p,xk*# d" )#p,ak*#.
4. przy wyborze koszyków dóbr kupcy kierują się indywidualnymi
preferencjami, które opisują rosnące, ciągłe i silnie wklęsłe funkcje
użyteczności, tj. uk : R+nR1 (k = 1,& ,m).
Rozwiązanie zadania polega na znalezieniu max uk (x)
przy ograniczeniu budżetowym )#p, xk*# d" )#p, ak*# dla x e" 0,
gdzie: uk jest funkcją użyteczności k-tego kupca.
Jeżeli funkcje uk (k = 1, & ,m) są ciągłe, silnie wklęsłe i rosnące
na R+n (standardowy warunek) i "p >0, to istnieje dokładnie jedno
rozwiązanie zadania xk = (x1k,& ,xnk) przedstawiające popyt k-tego
kupca na poszczególne towary. Ponieważ funkcja jest ciągła i rosnąca
kupiec musi wydać cały dochód Ik(p) = )#p, ak*#.
Dla każdego p >0 spełnione jest równanie )#p, xk*# = )#p, ak*#.
Optymalny koszyk jest ciągłą na int R+n+1 funkcją wektora cen p
i dochodu Ik (p). Czyli,
xk = �k (p, Ik(p)) = �k (p, )#p, ak*#) = arg uk (x).
max
k
)# p,x*#d"I
xe"0
Ze względu na to, że dochód handlowca sam jest funkcją wektora cen
p (koszyk ak jest dany), koszyk xk zależy wyłącznie od p. Jeżeli
spełnione jest założenie 4, to funkcja popytu k-tego kupca jest ciągłą
na int R+n postaci xk = xk (p).
m
m
k
xk ,
"
Wektor globalnego popytu przedstawia suma a suma "a -
k =1 k =1
m
k
wektor globalnej podaży, przy założeniu, że "a > 0.
k =1
Funkcją nadmiernego popytu jest z : int R+n+1Rn postaci:
m m
k
z( p) = xk ( p) -
" "a
,& ,p
k =1 k =1
9
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
Funkcja z(p) jest funkcją wektorową, czyli układem n funkcji
skalarnych postaci
z1( p) z1( p1,..., pn )
�ł łł �ł łł
�łM śł �łM śł.
z( p) = =
�ł śł �ł śł
�ł śł śł
n n
�łz ( p)�ł �ł ( p1,..., pn )�ł
�łz
Dodatnia wartość zi(p) oznacza nadwyżkę globalnego popytu nad
globalną podażą i-tego towaru przy wektorze cen p. Analogicznie
zi(p)< 0 oznacza nadwyżkę globalnej podaży nad globalnym popytem
na i-ty towar, a zi(p) = 0  równość obu tych wielkości.
Jeżeli spełnione jest założenie 4, to funkcja nadmiernego popytu z(p)
dla każdego p >0 spełnia warunki:
1. prp �! z(pr) z(p) (ciągłość  duże zmiany nadmiernego
popty nie mogą być spowodowane małymi zmianami cen);
2. " >0 z(p) = z(p) (dodatnia jednorodność stopnia zero 
jeżeli ceny wszystkich towarów zmienią się o taki sam procent, to
sytuacja na rynku nie ulegnie zmianie);
3. )#p, z(p)*# = 0 (prawo Walrasa  dla dowolnego wektora cen
p>0 wartość globalnego popytu jest równa wartości globalnej
m m
k
p, xk ( p) = p,
"p > 0
" "a
podaży, tj. .
k =1 k =1
Funkcja z(p) opisuje, jak zmienia się nadmierny popyt na wszystkie
towary, gdy zmieniają się ich ceny. Nadmierny popyt zi(p) na każdy,
wyodrębniony i-ty towar zależy przy tym nie tylko od ceny tego
towaru, lecz także od cen wszystkich pozostałych towarów.
Jżeli dla pewnego wektora cen p spełniona jest równość zi(p) = 0, to
na rynku i-tego towaru ukształtowała się równowaga (cząstkowa)
między popytem i podażą. Równowaga ogólna (walrasowska)
ukształtuje się, gdy na wszystkich, powiązanych ze sobą n rynkach
ustali się równowaga cząstkowa. Rynek jest w równowadze, jeżeli
p > 0, przy których wektor nadmiernego
ustaliły się na nim ceny
z( p) = 0 p
popytu spełnia warunek . Wektor nazywa się
wektorem cen równowagi.
10
Prof. Teresa Kamińska Równowaga cząstkowa (rynkowa) i ogólna
Na podstawie tej definicji można wywnioskować, że w modelu Arrowa  Hurwicza
istnieje dokładnie jeden dodatni wektor cen równowagi rynkowej określony z dokładnością
do struktury.
11