Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi  na dowodzenie
Zadanie 1.
Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano
1
punkty E, F oraz D, że |AE| = |BF| = |CD| = |AB|
3
(rysunek obok).
a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest równoboczny.
b) Udowodnij, że DE ^ð AB, EF ^ð BC, DF ^ð AC.
Zadanie 2.
Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC,
punkty A1, B1, C1 są odpowiednio środkami boków BC,
AC, AB, zaś punkty K, L, M  środkami odcinków SA,
SB, SC (rysunek obok).
Wykaż, że DðA1B1C1 ºð DðKLM.
Zadanie 3.
W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC
w punkcie M. Przez punkt M prowadzimy prostÄ…
równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie N.
Udowodnij, że |MN| = |BN|.
Zadanie 4.
Kąty ABC oraz DBC to kąty przyległe. Poprowadzono
dwusieczne tych kątów oraz prostą, równoległą do
prostej AD, która przecina te dwusieczne odpowiednio
w punktach E i F, zaÅ› ramiÄ™ BC  w punkcie K (rysunek
obok).
Udowodnij, że |EK| = |KF|.
Zadanie 5.
W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza
wierzchołek B i odłożono taki odcinek BD, że
|BD| = |BC|. Następnie połączono punkty C i D
(rysunek obok).
1
Wykaż, że |ÐðCDA| = |ÐðCBA|.
2
1
Zadanie 6.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym
równoramiennym. Z punktu M, należącego do
przeciwprostokÄ…tnej BC, poprowadzono odcinki MD
oraz MS, prostopadłe odpowiednio do
przyprostokÄ…tnych AC oraz AB (rysunek obok).
Udowodnij, że |MD| + |MS| = |AB|.
Zadanie 7.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M,
należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono
odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio
do przyprostokÄ…tnych AC oraz AB (rysunek obok).
| DM | | MS |
Udowodnij, że +ð =ð 1.
| AB | | AC |
Zadanie 8.
W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono
przeciwprostokątną AB i tak obrano na przedłużeniach
punkty D i E, że |AD| = |AC| oraz |BE| = |BC|
(rysunek obok). Udowodnij, że |Ðð DCE| = 135°ð.
Zadanie 9.
W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległą
do niej cięciwę CD (rysunek obok).
Udowodnij, że |ÐðACD|  |ÐðCDA| = 90°ð.
Zadanie 10.
Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb
całkowitych, z których najmniejszą jest liczba 2k  3,
gdzie kÎðC, podzielona przez 3 daje resztÄ™ 2.
Zadanie 11.
Wykaż, że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to
liczba postaci x6  x4  x2 + 1 jest podzielna przez 32.
Zadanie 12.
W trójkącie ABC długości boków wynoszą:
|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, gdzie 0 < a < b < c.
Pole tego trójkąta wynosi 3. Wykaż, że |AC| > 6 .
2
Zadanie 13.
W równoległoboku ABCD poprowadzono dwusieczne
kÄ…tów wewnÄ™trznych ÐðBAD oraz ÐðADC,
które przecięły się w punkcie M (rysunek obok).
Wykaż, że ÐðAMD jest prosty.
Zadanie 14.
ab
Wykaż, że jeÅ›li a > 2 i b < 4, to +ð 4 <ð b +ð 2a.
2
Zadanie 15.
Wiadomo, że x + y + 2 = 0. Udowodnij, że wartość
wyrażenia x2 + y2 + x×ðy  4 jest najmniejsza
dla x = y =  1.
Zadanie 16.
Wykaż, że jeśli x > k, to wyrażenie x3 + 5x  kx2  5k
przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Zadanie 17.
W trapezie ABCD podstawy mają długości:
|AB| = a oraz |CD| = b, gdzie a > b > 0 oraz
|ÐðBAD| + |ABC| = 90°ð. Åšrodek M podstawy AB
połączono ze środkiem N podstawy DC (rysunek obok).
a -ð b
Wykaż, że |MN| = .
2
Zadanie 18.
Wykaż, że dla dowolnego kÄ…ta ostrego að prawdziwa jest
nierówność tg2að + ctg2að Å‚ð 2.
Zadanie 19.
W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD oraz CE,
które przecięły się w punkcie M. Wiadomo, że
|AD| ×ð |CE| = 3 oraz |ÐðMAC| + |ÐðACM| = 60°ð.
Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi 1.
Zadanie 20.
Udowodnij, że jeśli x2 + x = y2 + y, to
x = y lub y =  x  1.
3
Zadanie 21.
Wykaż, że jeÅ›li a i b nie sÄ… równe zeru i a + b Ä…ð 0 i
a 1 b 3 -ð 3
=ð , to =ð .
a +ð b a +ð b 3
3
Zadanie 22.
Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby
czterocyfrowej jest mniejszy od tej liczby.
Zadanie 23.
Udowodnij, że funkcja
x3 -ð10x2 +ð 25x
f(x) = , gdzie x Îð R  { 5, 0, 5},
x3 -ð 25x
nie ma miejsc zerowych.
Zadanie 24.
Udowodnij, że zbiór wartości funkcji
x2 +ð 8x +ð16
f(x) = , gdzie x Ä…ð  4,
x +ð 4
jest dwuelementowy.
Zadanie 25.
Wykaż, że jeśli a  b < 0 i a + b > 0, to |a| < |b|.
Zadanie 26.
Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania
x2 + y2  12x + 2y + 37 = 0 jest para liczb (6,  1).
Zadanie 27.
Na bokach AC oraz BC trójkąta ABC tak wybrano
| NC |
punkty M i N, że MN || AB oraz =ð k, kÎð(0,1).
| BN |
Pole trójkąta ABC wynosi S.
k2 ×ðS
Wykaż, że pole trójkąta MNC jest równe .
(k +ð1)2
4
Zadanie 28.
Wykaż, że jeÅ›li aÎðR i bÎðR, gdzie a Ä…ð 0, b Ä…ð 0 i a + b Ä…ð 0
a -ð b 1 a -ð b
oraz 3a2  3ab = ab  b2, to =ð -ð lub =ð 0 .
a +ð b 2 a +ð b
Zadanie 29.
Długość a boku rombu oraz długości jego przekątnych
d1, d2 speÅ‚niajÄ… warunek d1 ×ð d2 = a2.
Udowodnij, że kÄ…t ostry að rombu speÅ‚nia warunek:
0 < tgað < 1.
Zadanie 30.
W kole o środku O i promieniu r (r > 0) zaznaczono kąt
Å›rodkowy AOB o mierze 120°ð. NastÄ™pnie
poprowadzono styczne do okręgu o(O, r) w punktach A
i B, które przecięły się w punkcie C (rysunek obok).
Wykaż, że odległość punktu C od środka okręgu jest
równa długości średnicy tego okręgu.
Zadanie 31.
Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną AB oraz
3|AD| = |DB| (rysunek obok).
Wykaż, że |ÐðCAD| = 60°ð.
Zadanie 32.
Rzucono raz dwiema kostkami do gry. Rozważmy
zdarzenia:
A  na co najmniej jednej kostce wypadło sześć oczek,
B  na każdej kostce wypadła parzysta liczba oczek.
1
Wykaż, że P(A  B) = .
6
Zadanie 33.
W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC.
Wykaż, że AB+ð AC =ð 2AD.
5
Zadanie 34.
Romb ABCD zawiera się w płaszczyz
nie pð. Przez
środek symetrii rombu prowadzimy prostą p,
prostopadÅ‚Ä… do pÅ‚aszczyzny pð. Na prostej p (poza
pÅ‚aszczyznÄ… pð), wybieramy punkt M (rysunek obok).
Wykaż, że punkt M jest równo odległy od boków
rombu.
Zadanie 35.
Okręgi o1(O1, r1) oraz o2(O2,r2), gdzie r1> r2 są
zewnętrznie styczne w punkcie S. Przez punkt S
prowadzimy prostą k, która przecina okrąg o1
w punkcie A i okrÄ…g o2 w punkcie B oraz prostÄ… l,
która przecina okrąg o1 w punkcie C i okrąg o2 w
punkcie D (rysunek obok).
Wykaż, że AC || BD.
Zadanie 36.
Dany jest sześcian ABCDA1B1C1D1. Punkt O jest
punktem przecięcia przekątnych kwadratu BCC1B1
(rysunek obok).
Wykaż, że odcinek DO jest prostopadły do odcinka BC1.
6