8416072472

Jeśli ko = k\ = • • • = k_n = 1, jest to zwykła różnica dzielona f[xo, x\, • • •, x_n]‘, jeśli któraś z liczb kj = 0, to oznacza że węzeł Xj nie występuje. Z definicji przyjmiemy:

(k — 1)! ¹

f[xk] =

oraz dla kj < 1, j = 0,1,2, • • •, n:

₁₆^    _ f[xpko - l,xiki, • • • iX_nk_n] - f[xpko, x\k\, • • • ,x_nk_n - 1]

X_n — Xq

Wzory (1.8) pozwalają tworzyć i wykorzystywać do budowy wielomianu interpolacyjnego Hermite’a tablicę różnic dzielonych, w podobny sposób, jak w przypadku interpolacji Lagrange’a.

Przykład. Chcemy zbudować wielomian interpolacyjny Hermite’a o dwóch węzłach Xq < X\ ikrotnościach 4 i 3 odpowiednio. Wielomian będzie stopnia <4 + 3 — 1 =6.

Pa(x o) =    /(ar₀)

++o)    =    /^(I)bo)

lf\x o) = /⁽²>bo)

++ o) =    /<»(*„)

Ąbi) = /bi) if+i) = /⁽¹⁾(xj) f«²⁾bi) = /^<2)Oi)

Zbudujemy najpierw tablicę różnic dzielonych z powtórzeniami. W tej tablicy węzeł o krotności k pojawi się k- razy i odpowiadać mu będą wartości funkcji / i jej A; — 1 pochodnych, jako dane zadania. Startując od danych zadania, uzupełniamy tablicę wykorzystując wzór (1.8).

^xo /boi *o /boi /boi /boi

XI    /[*l]

*1    /bl]

XI    f[x l]

/[* 02] /bo²! /bo²l /[*0>*ll

/[XI2] /bi2]

/bo³]

/bo³l

/bo²*^xil

/bo*^xi²l

/bi³]

/bo⁴)

/bo³.*x]

/[xo2,X!2]

/bo» *i³1

/[x₀4,X!] f[x₀3,_Xl2] /[®0²> xj3]

/bo⁴* ®1®1

/bo³*x₁3]

/bo⁴>*i³l

15