9467141761

miało rozwiązanie w liczbach całkowitych potrzeba i wystarcza, by (a, b) | c.

Spostrzeżenie. Niech będzie dane równanie postaci (*)    ax + by — 1, a, b e Z, o² + b² > 0.

Jeśli liczby całkowite a, b są względnie pierwsze, to równanie (*) posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych.

Twierdzenie. Jeśli para liczb całkowitych (xo, Uo) jest pewnym rozwiązaniem równania ax + by = c, a,b,c € Z, a² + b² > 0,

to wszystkie rozwiązania tego równania w liczbach całkowitych otrzymujemy ze wzoru b    a

x = x_Q +    1, y = y₀- rrt, tez.

(a, b)    (a, b)

Przykład. Równanie

(*)    435x + 2012y = 6

rozwiązać w liczbach całkowitych.

Rozwiązanie

Największy wspólny dzielnik liczb 435 i 2112 jest równy 3. Równanie(*) ma rozwiązanie, gdyż 3 | 12. Ponadto łatwo obliczyć, że

(**)    435 • (-335) + 2112 • 69 = (435,2012) = 3.

Mnożąc obie strony równości (**) przez 2 otrzymujemy

435 • (-335 • 2) + 2112 • (69 • 2) = 3 • 2 = 6.

Czyli

435- (-670)+ 2112-138 = 6.

Znaleźliśmy zatem rozwiązanie szczególne równania (*) xo — —670, yo — 138.

Zgodnie z powyższym twierdzeniem rozwiązanie, równania (*) ma postać

x = —670 + 7041, y = 138 + 1451, te Z.

3. Liczby pierwsze

Definicja liczb pierwszych. Jeśli poza dzielnikami trywialnymi liczba naturalna n, większa od jedności, nie posiada innych dzielników naturalnych, to nazywamy ją liczbą pierwszą.

Dokładniej: liczba n € N\{1} jest liczbą pierwszą, jeśli jedynymi jej dzielnikami naturalnymi są liczba 1 oraz liczba n.

4