9650942591

Zastosowanie analizy wymiarowej w celu wyznaczenia postaci zależności funkcyjne typu iloczynowego między kilkoma wielkościami fizycznymi.

Przykład 2. Załóżmy, że hipotetyczna zależność między przyspieszeniem a ciała wykonującego ruch po okręgu o promieniu R ze stałą prędkością v > 0 jest typu

a =oc v^aR⁰.

Jakie są wartości wykładników a i fil

Rozwiązanie: skorzystamy z R2 —» [a] — LT~², ten sam wymiar powinna mieć prawa strona wzoru (.L/T)^aL⁰ = L^a+0T~^a —* a + 0 =1 i -a=-2.

Odpowiedź: a = 2, /3 = -1 i a =oc v²R~¹ =oc v²/R.

Przykład 3. Uniwersalne stałe przyrody:

—    stała grawitacji G = 6,67 • 10¹¹ m³/(kg-s²) i [G] = L³M^-IT^-2,

stała Diraca h = h/2ir = 1,06 • 10^-34 kg m²/s, gdzie h= 6,63 • 10^-34 kg-m²/s stała Plancka i [h] = M¹L²T~¹,

—    prędkość światła c= 3,0 • 10⁸ m/s i [c] = L¹T^-1.

Korzystając z analizy wymiarowej utworzyć z nich wielkości: (1) tp (czas Plancka), (2) lp (długość Plancka), (3) mp (masa Plancka) i wymiarach, odpowiednio, czasu, długości i masy.

Ws-ka. Założyć, że tp = G^ah⁰c^l.

Rozwiązanie: Załóżmy, że m_p = G^ah?ć¹. Po podstawieniu wymiarów wielkości z lewej strony równości otrzymujemy

L³“M^-“T^-2aM^L²/3T^-^L'^rT^-7 = M‘L°T°.

Stąd wynika układ równań:

3a + 2/3 + 7 = 0, —a + 0=1, —2 a — 0 — 7 = 0, którego rozwiązaniami są:

0 = 7 = —a = 1/2.

Odpowiedź: mp