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43    (7"). m etant un nombre Cardinal tel que nt = 2.ttt, il n’existe aucune decomposition de la formę: ni = p -j- q, pC m et q Cm, si p et (J remplissent au moins une des conditions suivantes:

(a) p et q sont comparables, c.-a-d.: p q ou q p; (b) l’un du moins de nombres p et q n’est pas transfini; (c) p = K₀ ou bien q = K₀.

44    (T). nt etant un nombre Cardinal tel que m = ttt², il n’existe aucune decomposition de la formę: nt — p -(- q, p C nt et q C nt, si p et q remplissent au moins une des conditions suivantes:

(a) nt non-*C* p ou nt non-<^* q; (b) 2^V C 2"' ou 2^vl C 2'" ou 2^V 4= 2^kl; (c) l’un du moins de nombres p et q est un aleph.

En particulier, on peut appliquer tous les deux theoremes au probleme de la decomposition de la droite en deux ensem-bles de puissance plus petite.

Le probleme generał de la decomposition, on le sait, ne peut etre resolu definitivement sans 1’aide de l’axiome du choix que dans le cas des alephs. On a, d’apres cela:

45    (T). a etant un aleph quelconque, si a p + q ou n p. q, on a: a p ou a «< q.

46    (T). a etant un aleph quelconque, si rt<ę*p-|-q, on a: ci p ou a <> q.

En appelant le nombre nt indócomposable, lorsqu^,il ne peut etre represente sous formę: itt = p —(— q, pCnt et q <tn, M. Lindenbaum remarqua que l’on peut etendre a la classe de tous les nombres indecomposables certaines proposi-tions se rapportant a des alephs: p. ex. les theoremes: 45 dans le cas de a *< p + q, 11, 23, 46 et 53.

La proposition suivante a servi a M. Tarski de definition de la difference des nombres cardinaux:

47. p = n — m, lorsque p est le seul nombre Cardinal r pour lequel: tt = itt -f~ y.

La notion de la difference chez M. Tarski a donc un sens plus etroit que chez MM. Russell et Whitehead¹); en particulier, si n = nt, alors pour que la difference tt — itt au sens de la definition 47 existe, il faut et il suffit que nt ne soit pas transfini.

^]) Op. cit., Vol. II, p. 201.