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8    (L). Pour que l'on ait: a=a*, il faut et il suffit qu'il y ait un type 4 tel que: a = 4 *-{-4 ou bien a = 4*-(-l+4.

En s'appuyant (entre autres) sur le th. 3, M. Tars ki a montre que:

9    (T). Si a. (/c + X) -|- fi = a. (k + X) -f~ Y» * etant un nom-bre ordinal et X— un type + 0, alors on a: a. X + fi = a. X + 7.

Donc, en particulier:

10    (T). Si a. k -j- fi = a. A: -j- 7, k etant un nombre fini, alors a -f“ p = a + 7.

On peut donner quelques generalisations, d’ailleurs assez proches, de ce theoreme.

A 1'aide de 10, on etablit la proposition;

11* (7¹). Pour que Ton ait; a='3-f"^a + r^>i *1 faut et il suffit qu'il existe pour tout k fini un type i_k tel que a =

“ł“    + p. k.

Un corollaire de 11 constitue la solution d’un probleme de M. Sierpiński:

12* (T). Si, quel que soit k fini, Tensemble ordonne A admet des segments du type ?.k, il admet aussi un segment du type 'S. to.

On a enfin une sćrie des theoremes sur la division des egalites (le premier d’entre eux s’appuie sur le th. 3, le se-cond — sur les th. 3 et 10):

13 (L). Si a.k = ^r$.k et k =ł=0, alors a = p.

14    (L). Si a. k = |[j. /, ou k et / sont deux nombres finis premiers entre eux, il existe un type 4 tel que a = 4. / et p = 4. k.

15    (L).    7: ou etant un nombre ordinal =t= 0, si

a =-= z. on a a = fi.

On peut generaliser ce theoreme de beaucoup, en redui-sant 1’hypothese faite sur le nombre z.

16    (L). k et I etant des nombres finis premiers entre eux, si a = /. fi, il existe un type 4 tel que a = /. 4 et fi = k. 4.

Notons, en terminant, que parmi les theoremes signales, il y a (p. ex. 1 — 3) qui pourraient — d’apres la remarque de M. T a r s k i—etre enonces pour les „nombres r e 1 a t i o n n e 1 s ” arbitraires — „relation - numbers ' au sens de MM. Russell et