1053228417

— 320 —

arithmetique lies aux operations ordinaires de 1’addition et de la multiplication; elles l'ont conduit aux resultats dont quelques-uns seront exposes ci-dessous.

Le lemme suivant jouait dans ces recherches un role essentiel:

1    (L). Pour que Ton ait: cc = z -f- a -f" p, il faut et il suffit qu^łil existe un tel type £ que oc=a. to +£+ p. co*.

On en obtient aisement le theoreme:

2    (L). Pour que l’on ait: a = o -f-a-j- p, il faut et il suffit que Ton ait: a = o -f* a et a = a + p.

Comme un corollaire immediat de 2, on a:

3    (L). Si a = z + p et [5 = a + p, on a: a = p.

Le th. 3, analogue au theoreme connu de Schróder-Bernstein¹), traduit en langage de la 1 heorie generale des Ensembles, prend la formę que voici:

4    (L). Lorsqu'un ensemble ordonne/4est semblable a un segment de Tensemble ordonne B, et 1’ensemble 6 est semblable a un reste de 1'ensemble A, les ensembles A et B sont semblables ~).

Comme l’a encore remarque M. L i n d e n b a u m, les formules: a = z-\- p et p = p -p cc n'entrainent pas en generał 1'egalite: a = P (soit p. ex. a = to *. to, p = 1 -f- to*, co, z = to*, p — 1); on peut enon-cer cependant le theoreme suivant:

5 (L). Si a = a + p et P = p + a, alors pour que l'on ait: a = p, il faut et il suffit que l'on ait: (z + p). to = (p -f- z), co.

On en conclut que

6    (L). Si a = z + p et p = z -f- a, alors a = p.

On remarquera que l'on peut formuler le theoreme analo-gue a 5 (resp. 6), en y remplaęant „a -f- P”, „p -f- a” et „co” re-spectivement par „p-J-a”, _wa-(-p^w et „co*”. Nous omettrons ici les theoremes que l'on obtient de cette maniere par dualite.

Les deux theoremes suivants concernent les types inverses; le premier de ces theoremes est une consequence de 3:

7    (L). Si a = z -(- a* ou cc = cc* -f- p, alors a = a*.

*) Un autre theoreme de la theorie de 1'ordre, analogue au theoreme de Schroder-Ber nstein, se trouve dans la notę citee de M. Banach (p. 239).

²) Les termes „segment” et „reste” ont ici le meme sens que M. Hausdorff attribue aux termes ,Anfangsstuck" et „Endstuck"; cf. Grundzuge der Mengenlehre (1914), p. 88.