1629289599

18 3. Wierzchołki i krawędzie

Aby wykazać, że dimS = j i p € rintS znajdziemy j—wymiarową kulę, zawartą w S o środku w punkcie p.

Niech Si = p(p; dHi) będzie odległością punktu p od brzegu odpowiedniej półprzestrzeni. Niech e = Min{si \ s < i < t}. Teraz K = K(p;e) fi F C.W C\V = S jest j—wymiarową kulą o środku p.

Niech B będzie kulą o środku p zawartą w wielościanie W. Wtedy C Hi oraz p € dHi. Na mocy lematu 2.2 B C fj 9Hi = V. Stąd dim B < j.

□

Stwierdzenie 3.2. Niech S = WC\dH będzie ścianą wielościanu W. Wówczas S = W fi af(S). Dowód. Inkluzja S C W fi af(S) jest oczywista.

Ponieważ S C dH i dH jest podprzestrzenią, więc af(S) C dH.

Stąd W n o/(5) C W fi dH = S.    □

Lemat 3.2. Niech S będzie ścianą wielościanu W, zaś p jej punktem relatywnie wewnętrznym. Wówczas S = WC\af (K), gdzie K C W jest kulą o środku w punkcie p, maksymalnego wymiaru. Dowód. Niech S = ^fl dH. Ponieważ p € dH, więc K C W fi dH = S. Stąd af(S) = af(K) i S = Wnaf(S)=Wnaf(K).    □

Lemat 3.3. Niech S będzie ścianą wielościanu W — (~li=i Hi, zaś p jej punktem relatywnie wewnętrznym.

Wówczas S = W n f| dHi = W C fi H~.

{i\p&dHi}    {i\p£H~}

Dowód. Niech S = W fi dH, dla pewnej półprzestrzeni H D W. Wówczas W = H fi HŁb Hi i z dowodu poprzedniego lematu

S = iyndH fi |~) dHi C wn fj dHi — S. Do dowodu S — S wystarczy zauważyć, pedli,    pedHi

że S jest ścianą tego samego wymiaru co S, gdyż każda kula o środku w p zawarta w S jest zawarta w S.    □

Lemat 3.4. Niech W = fi Hi C Mⁿ będzie wielościanem.

Jeżeli W ^ 01=2 Hi to W C\ dH_x ± 0.

Dowód. Niech q € fli=2 H\W zaś p 6 W. Oznaczmy przez q' punkt przecięcia odcinka p~q z dH\. Punkty p oraz q leżą po różnych stronach hiperpłaszczyzny 8H\ więc punkt przecięcia odcinka pTq z dH\ należy do W.

□

Lemat 3.5. Niech W G Rⁿ będzie wielościanem. Wówczas W jest podprzestrzenią afiniczną wtedy i tylko wtedy gdy W nie ma właściwych ścian ( to znaczy ścian różnych od W ).

Dowód.

=> Niech W będzie przestrzenią afiniczną zaś S = W fi dH ścianą. Wybierzmy dowolny punkt p € 5. Ponieważ p € rint W więc istnieje kula K o środku w punkcie p rozpinająca W. Ale na mocy lematu 1.1 K C dH więc W = af(K) C dH i W = S.

a)    Jeżeli W — Mⁿ to jest podprzestrzenią afiniczną.

b)    Niech W = 0\=\Hi będzie opisem wielościanu W przy pomocy minimalnego zbioru

półprzestrzeni. Na mocy lematu 3.4 zbiór Si = W (1 dHi ^ 0 dla każdego 1 < i < t. Zatem są to ściany oraa W = S, C dHOtrzymujemy W C flLl ^8Hi C fl‘=l ^Hi = ^w- ^st<t^d w = flLl ^8H-jest podprzestrzenią afiniczną.    □