1869685448

a) dx

Rys. 7.2

M<

Na powierzchni zewnętrznej wycinka zachodzi następująca relacja między kątem skręcenia ę, a kątem odkształcenia postaciowego y.

rdę = ydx,    (7.1)

a na powierzchni o promieniu p (przy czym: 0 < p<r):

p-dę = y_p -dx.    (7.2)

Przekształcając relację (7.2) otrzymujemy wyrażenie określające kąt skręcenia na powierzchni o promieniu p:

Y_P= P

d(p

dx

(7.3)

Zgodnie z prawem Hooke’a dla ścinania oraz wykorzystując zależność (7.3), naprężenia ścinające x_p (Rys. 7.2b) można wyrazić jako funkcja kąta skręcenia następująco:

/- dę

^r» =^G-r_P =g-p-~

dx

(7.4)

gdzie: G - moduł odkształcenia postaciowego (moduł KirhchofFa) [Pa].

Na elementarnej powierzchni dA przekroju poprzecznego pręta (Rys. 7.2) w odległości p od punktu 0 działa naprężenie z_p, które względem punktu 0 daje elementarny moment skręcający

2 dę

dM —X ■ p • dA = G ■ p--dA.

' ^p    dx

(7.5)

Wykonując całkowanie równania (7.5) po całej powierzchni przekroju poprzecznego A - n ■ r¹, otrzymujemy:

M, = \z, pdA=G\p'-dA=G ^ I_a, (7.6)

^J    dx ^J    dr

dx

gdzie: I₀ = ~~~~ ⁼ ~~— biegunowy moment bezwładności [m⁴], d- średnica pręta [m].

Kąt skręcenia, na podstawie zależności (7.6), dla wycinka o długości dx wynosi: M_v dx

dę =^:

GL

(7.7)

natomiast dla całego pręta o długości /:

(7.8)

2