2048738908

3.2 Równanie stanu standardowego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu

Weźmy pod uwagę liniowy układ ciągły niecałkowitego rzędu, opisany równaniami

^cD?₁¹x^h(t₁,t₂)

^cD%x'’(t₁,t₂)

y(t_ut₂) = C

x^h(ti, t₂)

X^v(ti,t₂)

x^h(t\, t₂) X^v{t\,t₂)

+ Du(ti,t₂),

(29a)

(29b)

gdzie Ni - 1 < cti < Nu Ni e N dla i = 1,2; x^h(ti,t₂) £ R"¹, x^v(t\,t₂) E R”², (n = ni + n₂) są odpowiednio wektorami horyzontalnym i wertykalnym, u(t\, t₂) € R^m jest wektorem wymuszenia, y(ti,t₂) G R^p jest wektorem odpowiedzi oraz E,A E R^nxn, B E R^nxm, C E R^pxn, D E R^pxm.

Warunki brzegowe dla modelu (29) dane są w postaci

x^h(k)(0, t₂)

[d^kx^h(t_l:t₂)-\

[ Sti J_il=o

(30a)

gdzie k = 0,1,... N\ — 1; t₂ > 0,

(30b)

L 9<2 J<_a_0

gdzie l = 0,1,2,..., N, — 1; fi > 0 oraz :r^^k;(l2)~ z’/¹'¹ (i i) są danymi funkcjami.

Układ (29) jest szczególnym przypadkiem uogólnionego dwuwymiarowego modelu niecałkowitego rzędu opisanego modelem Roessera (16), przy czym E = I_n.

Twierdzenie 2. Rozwiązanie równania (29a) dla warunków brzegowych (30) ma postać

x^h(h,t₂)

x^v(łi,t₂)

oo oo ( N\

=£X> £

i=0 j=o l fc=l

T(k + iai)

DZ

x°o⁽‘ ¹¹ (ti)

_D^r^u+i)°²u(t j,t₂)

(31)

(32)

B\ e R’*¹’™, b₂ e R“»^x

15