2048738917

się na tej zasadzie, w [64], wprowadzono pojęcie dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu. Następnie w [110] wprowadzono podobny model dla układów ciągłych.

W niniejszej rozprawie przedstawione zostaną ciągłe i dyskretne uogólnione układy dwuwymiarowe niecałkowitych rzędów. W ogólnym przypadku zakładamy, że macierz E może być macierzą nieosobliwą. Ponadto przyjęto, że parametry modeli są niezależne od zmiennych (są niezmienne w czasie i w przestrzeni).

Teza tej pracy jest następująca:

"Teoria dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu o strukturze Roessera jest użytecznym narzędziem do analizy zjawisk opisanych równaniami różniczkowymi i różnicowymi niecałkowitego rzędu."

Rozprawa składa się z 7 rozdziałów, bibliografii oraz załącznika w postaci płyty CD.

W Rozdziale 1 dokonano przeglądu literatury dotyczącej tematu rozprawy doktorskiej. Następnie przedstawiono cel i tezę pracy.

W Rozdziale 2 przedstawiono podstawowe definicje pochodnych i całek niecałkowitych rzędów jedno- i dwuwymiarowych funkcji ciągłych oraz podano transformaty Laplace’a tych operatorów matematycznych. Podobnie, dla funkcji dyskretnych, sformułowano definicje różnic niecałkowitych rzędów oraz wyprowadzono przekształcenia zet tych różnic.

Rozdział 3 poświęcony jest dwuwymiarowym układom ciągłym niecałkowitego rzędu. Sformułowano równania w przestrzeni stanu uogólnionego i standardowego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu. Wyprowadzono rozwiązania równań stanu dla wprowadzonych modeli. Dla układów standardowych podano uogólnienie klasycznego twierdzenia Cayley’a-Hamiltona.

Dwuwymiarowym układom dyskretnym niecałkowitego rzędu poświęcono Rozdział 4. Podano i wyprowadzono rozwiązanie równań stanu dla standardowych i uogólnionych dwuwymiarowych układów dyskretnych niecałkowitych rzędów. Dla układów standardowych podane zostały uogólnienie twierdzenia Cayley’a-Hamiltona oraz warunki dodatniości i stabilności asymptotycznej. Rozpatrzono problem stabilizacji za pomocą sprzężeń zwrotnych od wektora stanu.

W Rozdziale 5 pokazane zostało, że równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu oraz równania linii długiej niecałkowitego rzędu mogą być przedstawione w postaci uogólnionych modeli wprowadzonych przez autora.

W Rozdziale 6 opisano działanie programów środowiska MATLAB pozwalających na symulację dwuwymiarowych układów standardowych niecałkowitych rzędów. Ponadto przedstawiono algorytm pozwalający na wyznaczanie macierzy wzmocnienia w torze sprzężenia zwrotnego, takiego że dyskretny dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu ze sprzężeniem zwrotnym jest dodatni i stabilny asymptotycznie. Opracowane programy zamieszczono w załączonej do pracy płyty CD.

Rozprawę kończy Podsumowanie, gdzie wyszczególniono oryginalne wyniki autora rozprawy oraz pokazano potencjalne kierunki rozwoju opracowanej teorii.

5