2048738915

1 Wprowadzenie

Zainteresowanie układami dwuwymiarowymi (2D) sięga lat siedemdziesiątych XX wieku [2, 25, 106]. Znalazły one zastosowanie w wielu dziedzinach współczesnej inżynierii, takich jak przetwarzanie obrazów cyfrowych [106], poprawa jakości zdjęć rentgenowskich, śledzenie dyfuzji w naczyniach krwionośnych [120], analiza skażenia rzek [23] oraz procesów ogrzewania pary wodnej i absorbcji gazu [82].

Cechą wspólną wyżej wymienionych zjawisk jest konieczność analizy sygnałów (funkcji) zależnych od dwóch zmiennych liniowo niezależnych, np. czasu i jednej zmiennej przestrzennej lub dwóch zmiennych przestrzennych. Najbardziej popularnymi modelami układów dwuwymiarowych są modele wprowadzone przez Roessera [106], Fomasiniego i Marchesiniego [24, 25] oraz Kurka [79].

Koniec XX wieku i początek XXI wieku zaowocowały wieloma pracami dotyczącymi układów dwuwymiarowych. Problemowi stabilności asymptotycznej poświęcono prace [26, 47, 50, 51, 78, 81, 116, 117, 124]. Dodatniości dotyczyły prace [22, 36]. Rozwiązane zostały również zagadnienia sterowalności, osiągalności i obserwowalności układów 2D (patrz [19, 70, 71, 72, 73, 74, 75] ) oraz problem realizacji [18, 20, 27]. Singulamość modeli dwuwymiarowych badano w pracach [28, 33]. Dwuwymiarowym układom dyskretnym poświęcono monografie [4, 5, 32, 37], a dwuwymiarowe układy ciągłe i dyskretne zostały opisane w [29].

Równolegle do teorii układów dwuwymiarowych rozwijało się zainteresowanie naukowców i inżynierów rachunkiem różniczkowym i różnicowym niecałkowitego rzędu. Dowodem tego są liczne monografie [62, 68, 84, 85, 86, 91, 99]. Rozwój nowych materiałów oraz wymagania wysokiej dokładności modelowania zjawisk fizycznych zmusiły badaczy do poszukiwań nowych operatorów matematycznych, które pozwoliłyby na zadowalającą precyzję opisu matematycznego rzeczywistych zjawisk. Okazało się, że równania różniczkowe lub różnicowe o całkowitych rzędach pochodnych (różnic) są niewystarczającym narzędziem matematycznym i zwróciło uwagę badaczy na uogólnienie operatora różniczki i różnicy na niecałkowite (rzeczywiste) rzędy.

Rozwój takich nauk, jak nanotechnologia doprowadził do powstania nowych materiałów, których własności elektryczne i mechaniczne zależą od warunków, w których znajdowały się w przeszłości. Cechą charakterystyczną operatorów pochodnej i różnicy niecałkowitych rzędów jest to, że wprowadzają do układu pamięć przeszłych stanów. Ten fakt uczynił rachunek niecałkowitego rzędu doskonałym narzędziem pozwalającym precyzyjnie opisywać własności elektryczne i mechaniczne uzyskanych materiałów.

W pracach [3, 101] pokazano, że rachunek różniczkowy niecałkowitego rzędu 0.5 znajduje zastosowanie w równaniu opisującym proces rozchodzenia się ciepła w pręcie. Następnie dowiedziono w kolejnych pracach [103, 115, 121], że modelowanie superkondensatorów wymaga tego nowego narzędzia. Teoria sterowania znalazła zastosowanie tego typu operatorów do konstrukcji regulatorów niecałkowitego rzędu, takich jak PI^D¹¹ [100, 119, 122] lub

3