2371743697

2.3. Strategie mieszane 17

Tak więc elementy sympleksu jednostkowego gracza utożsamiamy z jego strategiami mieszanymi. Zbiory Aj, i = 1 A są zwarte i wypukłe, co bedzie w szczególności odgrywało rolę w dowodzie istnienia równowagi Nasha.

Przykład 2.3. Dla N = {1,2}, mi = mi = 2, xi = (xn,®i2), *2 = (^21^22)) sympleksy obu graczy są odcinkami o długości \pl. Dla N — {1,2}, mi = mi — 3 sympleksy obu graczy są trójkątami równobocznymi.

Strategia czysta jest szczególnym przypadkiem strategii mieszanej. Oznaczając

ej = (0, ...0,1,0, ...0)    (2.1)

- fc-ty wersor w możemy zapisać wektorową reprezentację profilu X{ — (xn, ...,Xi_mi) w następujący sposób:

=    6A₍.    (2.2)

k= 1

Można powiedzieć że wektor ef jest strategią (mieszaną) gracza i przypisującą akcji o numerze k ze zbioru Aj prawdopodobieństwo 1, ef jest k-tą strategią czystą gracza i. Dla każdego gracza i wierzchołki sympleksu Aj są to elementy bazy kanonicznej {ej,..., e™‘} przestrzeni wektorowej R^m\

Rozważmy GS = (N, (Aj)j_eyv, (uj)j₆Ar). Założenie że każdy gracz podejmuje decyzję o wyborze akcji ”niezależnie”, bez wiedzy o wyborze innych graczy, formalizujemy w postaci tzw. postulatu niezależności stochastycznej.

Definicja 2.7. Niech a = (ai, ...a_n), a* € Ai - profil strategii czystych GS. Postulat niezależności statystycznej mówi że (łączne) p-stwo że 1-y gracz wybierze akcję (zagra) <21, ..., n-ty zagra a_n jest dane wyrażeniem

x(a) = Xlai*2o2 ••■Xna_n

gdzie Xi_ai jest p-stwem że gracz i zagra a,, i — 1, ...n.

W ten sposób każdemu profilowi strategii czystych a £ A gry GS przyporządkowaliśmy liczbę x(a) > 0. Zachodzi przy tym

E-W"¹    (2.3)

aęA

Dla każdego gracza i procedura ta definiuje na zbiorze A = xAi, i = 1, ...n profili strategii czystych gry pewną zmienna losową t/j o rozkładzie

(ui(a),x(a)), a £ A    (2.4)

gdzie Ui(a) jest wypłatą gracza i z profilu a, natomiast x(a) jest zdefiniowanym wyżej prawdopodobieństwem zagrania tego profilu.

Definicja 2.8. Wyplata gracza i z profilu strategii mieszanych x = {x\, ...x_n) jest to wartość oczekiwana zmiennej losowej Uf.

Ui(x) = ^2 Ui(a)x(a) a€A

W dalszym ciągu będziemy na ogół zastępować Ui(x) przez Ui(x), oraz pomijać jedną parę nawiasów tam gdzie nie budzi to wątpliwości. Np. zamiast Ui((xi,X2)) będziemy pisać Ui(x\,xi). Funkcje wypłat są liniowe względem poszczególnych współrzędnych profilu gry (w dalszym ciągu będziemy używali zwrotu: wypłaty są liniowe). Mówi o tym