2371743698

18 ?. Gry w postaci strategicznej

Stwierdzenie 2.1. O liniowości wypłat względem każdej współrzędnej pofilu

VieN Vj G N Ui(xi,...,^2xjkej,...x_n) = ^2xjkUi(xi,...,ej,...,x_n)    (2.5)

fc=i    fc=i

Dowód. Wykorzystując postulat niezależności statystycznej [x(a) = xi_ai...Xj_aj—x_nan\ prawą stronę przepisujemy w postaci

^Z^xjk ^2    Ui(ai,...,k,...,a_n)xi_ai...l...x_nan.

k= 1    (ai,...,&j,...a_n)

Lewa strona ma postać

Ui(xi,x-i) = J2 E x(a)ui(a),

^ai (ai,...,&j,...an)

Wyciągając x_jaj z x(a) przed "wewnętrzną” sumę i pamiętając że 'EajeAj ^xja.j = J2™2 i ^xjk otrzymujemy tezę.    □

W szczególności dla j — i otrzymujemy wykorzystywana w dalszych rozważaniach równość V* € N Ui(Y^Xike^,x-i) = ^y£2x_ikUi(e$,X-i).

k=i    k=i

Przykład 2.4. N=2. Oznaczmy A,B - macierze wypłat odpowiednio gracza 1,2. Wypłata gracza 1 z profilu x — (x\,X2)^m.

U\(x\,X2)=    ^2 ^xl_aiX2a₂Ul{ai,a2) = X\AX2.

(ai ,a₂)&A

Analogicznie dla drugiego gracza U2(xi,X2) = x\Bx2- W szczególności dla gry symetrycznej, tzn. gdy «i(£1,2:2) ^{= u}2(®2)®l)) czyli A = B^T.

Uwaga: (Xj,x_j) oznacza profil (xi,X2,...x_n), a nie profil (xj,Xi,...Xj,...,x_n). W szczególności, dla n = 2,i = 2 mamy x_j = x\, ale formalny zapis Ui(xi, x_j) = u₂(x₂, xi) jest to wartość funkcji wypłat u₂ na profilu (w punkcie) (£ii £2)1 a nie na (x2,xi).

Definicja 2.9. Rozszerzenie mieszane skończonej gry strategicznej GS (N, (Aj)jgjv, («j)jgjv) jest to trójka

GS=(N,(Z_i)_ieN,(u_i)ieN)-

W dalszym ciągu rozszerzenie mieszane także oznaczamy skrótem GS.

2.4. Dominacje strategii

Definicja 2.10. Strategia crj € Ej ściśle dominuje strategię rfi 6 Ej jeżeli

V    <7_j € E_j ttj(<7j,(7_j) > Ui(rii,(T-i) Definicja 2.11. Strategia er, € Ej słabo dominuje strategię r]i € Ej jeżeli

V    <7_j e E_j Uj(<7j,<7_j) >

oraz istnieje podprofil cr_j € E_j dla którego powyższa nierówność jest ostra.