2371743694

2. Gry w postaci strategicznej 2.1. Gra strategiczna

Wprowadzamy oznaczenia N = {1,2, ...n} — zbiór graczy

Ai, i = 1,2, ...n — niepusty zbiór akcji (strategii czystych) gracza i A = xAi,i e N.

Ui : A —> 3? — wypłata (funkcja wypłat) gracza i, i = 1, ...n

Definicja (ważna) 2.1. Gra strategiczna jest to trójka GS = {N, (2lj)j_e;v, («i)ieiv)

Używa się też terminów: gra w postaci strategicznej, gra w postaci normalnej, gra niekoopera-cyjna.

Oznaczamy

a = (ai,d2, ...a_n) = (aj)jgjv — profil (strategii czystych) gry, aj € Aj. ui(a) — wypłata gracza i z profilu a

Niekiedy, chcąc wyróżnić gracza i, np. by porównywać wartości funkcji wypłat w profilach w których zmieniamy jedną współrzędna, będziemy profil zapisywali w postaci (aj,a_j), gdzie a_j oznacza ciąg wyrazów profilu (aj) dla wszystkich graczy poza i: a-i = (o-j)jęN\{i}• Konsekwentnie oznaczamy A-i = xA_k, k € N\{i}

Uwaga 2.1. Tam gdzie nie będzie wątpliwości, będziemy utożsamiać akcję ze strategią. W ogólności, dla wielu typów gier strategia to scenariusz, plan działań, akcji na wszystkie możliwe sytuacje. Odpowiednie formalne definicje będą podane w dalszych rozdziałach.

Uwaga 2.2. Ogólniejsza definicja gry strategicznej wprowadza pojęcie wyników gry i zastępuję funkcje wypłat graczy przez relacje preferencji na zbiorze wyników gry. W tym wykładzie relacje preferencji specyfikujemy przez podanie funkcji użyteczności - funkcji wypłat, które te relacje określają. Więcej na ten temat - patrz np. [13, 16, 20, 14].

Przykład 2.1. N — {1,2}, A\ — {1,2, ...mi}, A-i = {1,2, ...m2}. Niech a — (01,02) € A = Ai x A2 - profil strategii czystych, Uj(a) - wyplata gracza i z profilu a,i— 1,2. W ogólności zbiory Aj mogą być zbiorami różnych strategii. Zbiory {itj(o),a € A} mają po mi x 7712 elementów, które tworzą mi x 7712 elementowe macierze - macierze wypłat graczy. Niech E oznacza macierz wypłat gracza 1, F-gracza 2:

E = (e_hk), e_hk = ui(h,k), F = (f_hk), f_hk = u₂(h,k) Vh € A_x,\/k e A₂.

Numer wiersza odpowiada numerowi strategii gracza 1, numer kolumny - numerowi strategii gracza 2.

Przykład 2.2. Jako szczególny przypadek Przykładu 2.1 przyjmijmy N = {1,2}, Ai = A₂ = {C, D}, oraz

ui((C,C)) = R, ui((C,D)) = S, ui((D,C)) = T, ui((D,D)) = P,

U2(lc,C)) = R, u₂((C, D)) = T, u₂((D,C)) = S, u₂((D,D)) = P, T,R,P,S € 3J. Macierze E, F wypłat gracza 1 i 2 mają postać odpowiednio

Wstęp do Teorii Gier © T.Piątkowski, Uniwersytet Warszawski, 2012.