2371743696

16 ?. Gry w postaci strategicznej

Współrzędna > O jest prawdopodobieństwem że gracz i zagra strategią czystą (wybierze akcję) h £ Ai. Wprowadzamy oznaczenia:

Ej = {<Tj : Ai —> [0,1] : J2T=i ^aik = li ^aik > 0}- zbiór strategii mieszanych gracza i ° = (<Tj)jeN =    —ffn) - profil gry

E = xEj, i £ N zbiór wszystkich profili gry

£T_j = ((Ti, (72, ..dj.,., (Tat) - profil strategii wszystkich graczy poza graczem i.

Ui{a) = Uj((7j,(7_j) — wyplata gracza i z profilu er

W dalszym ciągu zamiast strategia mieszana będziemy mówić strategia. Strategia czysta jest szczególnym przypadkiem strategii mieszanej; czasami gdy będziemy chcieli podkreślić że mamy do czynienia ze strategią czystą będziemy zamiast strategia mówić strategia czysta.

Strategie mieszane opisują sytuacje w których gracze podejmują akcje z pewnym prawdopodobieństwem. Można sobie wyobrażać że każdy gracz posiada urządzenie dające rozkład p-stwa określający jego strategię mieszaną i używaja tego urządzenia do gry. Alternatywna interpretacja strategii mieszanych jest następująca. Każdemu graczowi odpowiada jedna ” bardzo duża” populacja graczy. Częstość występowania w niej graczy grających każdą z akcji ze zbioru Aj jest równa p-stwu występowania tej akcji w strategii mieszanej. Gracz i losuje z tej populacji jednego gracza i gra jego strategią.

Każda strategia mieszana a i każdego gracza i jest opisana przez wektor pewien wektor Xj = (xii,..., Xi_mi) w przestrzeni euklidesowej R^m‘. Będziemy używać alternatywnie zapisu: <7; = ((7*i, ...,(7imt) oraz, gdy będziemy chcieli podkreślić algebraiczną strukturę wprowadzanego formalizmu, powyższej reprezentacji £j. Profil a gry będziemy alternatywnie oznaczać przex x, x = (x\, ...xpj). Z definicji rozkładu p-stwa mamy

f] Xih = 1, Xih > 0 'ii £ N.

h=1

Współrzędna Xih jest prawdopodobieństwem że gracz i zagra strategią czystą (wybierze akcję) h £ Ai.

Definicja 2.5. Niech ii £ N Ai = A, czyli zbiór akcji jest ten sam dla wszystkich graczy. GS jest symetryczna    j, Va = (ai, ...a_n) zachodzi

Uj (fli,    ...O/j,.. ifl^)    Ul (di,..., dj,..., dj, •• •, dn) •

Mówimy że GS jest symetryczna jeżeli wypłaty każdych dwóch graczy nie ulegają zmianie przy zamianie ról tych graczy.

Uwaga 2.3. Dla n=2 i gry symetrycznej U2(ai, <22) = ^ui{^a2, ^l), macierze wypłat graczy są transponowane. Ogólniej, dla n=2 symetria sprowadza sie do stwierdzenia że macierze wypłat są kwadratowe i jedna powstaje z drugiej przez transpozycję.

Wypłaty graczy z profili strategii mieszanych.

Dla każdego gracza i definiujemy Aj - sympleks jednostkowy gracza i (sympleks strategii mieszanych gracza i) oraz A - sympleks strategii mieszanych GS:

Definicja 2.6.

Aj = {(Cj = (xn,Xi2, •••,x_m<) £ R^m< :Y.x_ih = 1, Xih> 0 V h £ Aj}.

ft=i

A = XjAj.