365605321

Uogólnienie t(n) i o(n) jest zapewnione przez

cr_k(n) = ^2 d¹-- suma k-tych potęg dzielnika liczby n ponieważ o₀(n) = t(n) and Oi(n) = a(n).

Funkcja (p również może być uogólniona w podobny sposób. Rozważymy to uogólnienie później ze względu na Jordana, k(n) = liczba k-krotności < n których g.c.d jest wzglęnie pierwszą liczbą z n. Wyprowadzimy kilka elementarnych właściwości z nich i blisko powiązanych funkcji i określimy kilka specjalnych rozwiązanych i nierozwiązanych problemów związanych z nimi. Omówimy twierdzenie, która podaje jednolite podejście do tych funkcji i ujawnia nieoczekiwane połączenia między nimi. Później omówimy ważność tych funkcji. Funkcje co(n), Q(n) ,a w szczególności 7t(n) są innej natury i zwrócimy na nie szczególną uwagę.

Przypuśćmy że mamy rozkład na czynniki potęgowe liczb piewszych z n tak podane

71 — Pl ^lP2~ • ■ -Ps* ^{lub króce}J Tl = JJp^a

Zauważ ,że 1 nie jest liczbą pierwszą i uważamy za rzecz oczywistą dając się udowdnić ,że niezależnie od celu, rozkład jest unikalny. W zakresie tym rozkład funkcji Ok (n) i cp(n) są łatwe do okeślenia. Nie trudno zauważyć ,że warunkami rozwinięcia iloczynu

_n,_1+/+p- ₊ ..._+p-)

p|n

są akurat dzielniki z n podniesione do potęgi k-tej. Stąd mamy pożądane rozwinięcie dla Ok (n) W szczególności

r(n) = rr₀(n) = JJ(or + 1)

pO+1_

CT(n) = <jj(n) = JJ(l + p+p² +----Hp“) =n—^

_P|„    p|» ^P

np. 60 = 2^J * 3‘ * 5'.

r(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 ■ 2 ■ 2 = 12,

cr(60) = (1 + 2 + 2²)(1 + 3)(1 + 5) = 7 • 4 ■ 6 = 168.

Wzory te ujawniają multiplikatywną naturę Ok(n). Dla uzyskania jasnego wzoru dla <p(n) możemy skorzystać z dobrze znanych kombinatorycznej zasady

Zasada włączania i wyłączania

Niech będzie dane N obiektów z których każdy może ale nie musi posiadać dowolne charakterystyki