4531591936

oraz

(3.4)

—divcr = —divF w £>'(12).

Dalsza częśc tego rozdziału jest poświęcona dowodowi. W punkcie 3.2 zgromadzone zostały pewne pomocnicze fakty z teorii funkcji wielowartościowych i miar Younga. Podrozdział 3.3 przedstawia równoważność maksymalnych monotonicznych wykresów i odwzorowań 1-lipschitzowskich oraz procedurę ich wygładzania za pomocą jądra, którego nośnik zmienia się wraz z x i £. W kolejnym znajduje się dowód kluczowego kroku metody. Przy pomocy technik opartych na miarach Younga zostało wykazane, że funkcje graniczne rzeczywiście spełniają równanie. Ostatni punkt 3.5 przedstawia dowód głównego twierdzenia, który w świetle wykazanych uprzednio faktów jest jedynie formalnością.

3.2. Narzędzia

3.2.1. Mierzalne odwzorowania o wartościach w zbiorach

W tym podrozdziale omówimy na podstawie książki [10] podstawowe własności odwzorowań wielowartościowych. Szczególny nacisk położymy na mierzalność, która odgrywa niebagatelną rolę (i powoduje istotne techniczne trudności) w całym dowodzie.

Lemat 4. [10, Lemat 8.2.3] Rozważmy dwie zupełne, ośrodkowe przestrzenie metryczne X, Y, przestrzeń mierzalną (12, A) i funkcję Caratheodory’ego : Q,xX —> Y (dla przypomnienia -ciągła ze względu na drugi argument przy ustalonym pierwszym i mierzalna przy ustalonym drugim; w X iY rozpatrujemy o-ciala borelowskie). Wówczas dla każdej mierzalnej funkcji f : D, —> X odwzorowanie u t-» f{ui)) jest mierzalne.

Dowód. Ponieważ / jest mierzalna, istnieje ciąg funkcji prostych f_n:Q—>X zbieżny punktowo do /. Zatem u> i—»    fn(w)) jest mierzalne. Na mocy ciągłości względem drugiego

argumentu

^v"^en /»(")) = »>(“./(“))■

Stąd u i—►    /(w)) jako punktowa granica funkcji mierzalnych jest mierzalna.    □

Lemat 5. [10, Lemat 8.2.6] Rozważmy przestrzeń mierzalną (fl,^4), zupełne ośrodkowe przestrzenie metryczne X ,Y oraz funkcję Caratheodory’ego g : DxX —> Y. Wtedy g jest mierzalna względem a-ciala A® B, gdzie B - o-ciało borelowskich podzbiorów X.

Dowód. Wystarczy wskazać ciąg funkcji g_n : D x X —> Y mierzalnych względem A® B zbieżnych punktowo do g. Rozważmy {a;*}^ - ciąg punktów gęsty w X. Ustalmy (ui, x) e 12 x X. Niech k będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której x € B (xk, ^ . Połóżmy g_n(u>, x) = g{u>,Xk). Ciągłość g względem drugiego argumentu pozwala wnioskować o punktowej zbieżności g_n —» g. Co więcej, funkcja g_n jest kawałkami stała po jednej współrzędnej, to znaczy

skąd natychmiast wynika mierzalność na <r-ciele produktowym.    □

16