A. Zaborski, Reologia: przykład redystrybucji naprężeń
Oszacowanie redystrybucji naprężeń w przekroju słupa
żelbetowego, ściskanego siłą osiową - przykład.
Założenia materiałowe: stal zbrojeniowa pracuje sprężyście (zw. Hooke'a), beton opisuje
najprostszy model reologiczny Maxwella
Dane: stopień zbrojenia s = Fa/Fb = 5% = 1/20, stosunek modułów Younga n = Ea/Eb = 10,
à (t) à (t)
r. reologiczne stanu dla betonu: µ (t) = + (Maxwell).
E ·
RozwiÄ…zanie:
- równanie statyki: N = Na + Nb = ÃaFa + ÃbFb
- r. zgodnoÅ›ci odksztaÅ‚ceÅ„: µa = µb
Ãa Ãb
- warunek poczÄ…tkowy, t = 0: = Ò! Ã = nÃb
a
Ea Eb
3
skÄ…d dostajemy na podstawie równania statyki: N = FbÃb(1+ ns) = FbÃb
2
N N
2 1
i w chwili poczÄ…tkowej naprężenia wynoszÄ… odpowiednio: Ãb = , Ãa = ,
3 3
Fb Fa
2 1
a siły przenoszone przez beton i zbrojenie: Nb0 = N, Na0 = N .
3 3
Wykonujemy całkowanie metodą trapezów (tylko jeden krok czasowy), wg wzoru:
Ãb1 1 1
µb1 = + (Ãb1 + Ãb0)"t .
Eb · 2
Z warunku zgodności odkształceń, mamy:
ëÅ‚ öÅ‚
Na Nb1 "t Nb1 2 N
ìÅ‚ ÷Å‚
= + +
ìÅ‚
E F EbFb 2· Fb 3 Fb ÷Å‚
a a íÅ‚ Å‚Å‚
a mnożąc obie strony równania przez pole powierzchni betonu i jego moduł sprężystości, oraz
wyrażając siłę przenoszoną przez zbrojenie poprzez siłę przenoszoną przez beton (z równania
statyki), dostajemy:
N Nb1 Eb"t 1 Eb"t 1
- = Nb1 + Nb1 + N .
sn sn · 2 · 3
Eb"t
Jeżeli przyjmiemy: E" 1(co nie jest dalekie od prawdy), to otrzymamy aktualne wartości
·
10 11
sił przenoszonych przez beton i stal: Nb1 = N, Na1 = N . Obliczając stosunek naprężeń
21 21
aktualnych do poczÄ…tkowych:
à Na1 33 Ãb1 Nb1 30
a1
= = = 1.57, = = = 0.71,
à Na0 21 Ãb0 Nb0 42
a0
dochodzimy do wniosku, że w wyniku redystrybucji naprężenia w zbrojeniu rosną ok. 60% a
w betonie malejÄ… (relaksacja) o 30%.