Lista 1 LICZBY ZESPOLONE, Informatyka inż., sem. II, 2007/2008
1. Wykonaj podane dzialania:
" "
a) (1 - 3i) + (1 + 2i); b) (3i - 2) - (1 - 2i); c) (1 + 2i)(-3 + 4i);
4+5i z2 z-w Re z+iIm z
d) ; e) z · w, , , dla z = 2 - 5i, w = -4 + 3i.
2-i w z+w z+w
2. Znajdz
liczby rzeczywiste x, y spelniajace podane równania:
a) x(2 + 3i) + y(5 - 2i)) = -8 + 7i; b) (2 + yi) · (x - 3i) = 7 - i;
1+yi x+yi 9-2i
c) = 3i - 1; d) = .
x-2i x-yi 9+2i
3. W zbiorze liczb zespolonych rozwia ż równania: a) z2 = 4z;
1+i 2-3i
b) = ; c) z2-4z+13 = 0; d) (z+2)2 = (z+2)2; e) 2z+z = 6-5i;
z z
2+i 1-i
f) (1 + i)z + 3(z - i) = 0; g) = .
z-1+4i 2z+i
4. Na plaszczyz
nie zespolonej narysuj zbiory liczb z spelniajacych podane
warunki:
4
a) Re(iz + 2) e" 0; b) Im z2 < 0; c) z - i = z - 1; d) = z;
z
1+iz
f) = 1.
1-iz
z+4 z
5. Niech u = , v = , gdzie z " C. Naszkicuj zbiór wszystkich
z-2i iz+4
liczb zespolonych z, dla których: a) liczba u jest rzeczywista; b) liczba v jest
czysto urojona.
6. Oblicz moduly podanych liczb zespolonych:
" " "
4 4
Ä„
a) - 3i; b) 6 - 8i; c) 2 - i 3; d) 1 + itg Ä…; Ä… " (-Ä„ , );
2 2
"
(3-i 3)2
1+3i
"
e) ; f) .
3-4i
( 2+2i)3
7. Podaj interpretacje geometryczna modulu różnicy liczb zespolonych. Ko-
rzystajac z tej interpretacji narysuj zbiory liczb zespolonych z spelniajacych
podane warunki:
z-2i
a) |z - 3 + 4i| = 1; b) | | = 1; c) 2 d" |iz - 5| < 3;
z+1
z+i
d) |z + 1 - 2i| e" 3 oraz |z - 3| < 4; e) | | e" 1.
z2+1
8. Podane liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:
"
" "
1 3
a) 7 + 7i; b) 3 - i; c) -5 + 5 3i; d) - - i; e) -27i.
2 2
9. Podaj w postaci algebraicznej wartości nastepujacych wyrażeń:
" "
Ä„ Ä„
a) (1 - i)12; b) (1 + i 3)8; c) (2 3 - 2i)30; d) (cos - i sin )10;
4 4
(1+i)22
Ä„ Ä„
"
e) ; f) (sin + i cos )24.
6 6
(1-i 3)6
10. Narysuj zbiory liczb zespolonych spelniajacych podane warunki:
(1+i)z
a) Im (z3) < 0; b) Re (z4) e" 0; c) Im (z2) e" Re (z)2; d) Im e" 0.
(1-i)z
11. Stosujac postać wykladnicza liczby zespolonej rozwia ż podane równania:
4
a) z7 = z; b) (z4) = z2|z2|; c) (z)2|z2| = .
z2
12. Oblicz i narysuj na plaszczyz
nie zespolonej podane pierwiastki:
" " " "
3 4 6
a) -1 + i 3; b) -27i; c) -4; d) -64;
"
" " "
5 3 8 4
1 3
e) 32i; f) -1 + i; g) 1; - + i.
2 2
13. Odgadujac jeden z elementów podanych pierwiastków oblicz pozostale
elementy:
4 3 3
a) (5 - 4i)4; b) (-2 + 3i)4; c) (2 - i)6; (2 - 2i)9.
14. Rozwia ż równania:
a) z4 = (1 - i)4; b) (z - 1)6 = (i - z)6; c) z6 = (1 + 2i)12.