6700449977

12 Elementy logiki matematycznej

Aby zaprzeczać zdania z kwantyfikatorem, posłużymy się następującym przykładem. Weźmy pod uwagę następujące zdanie: „Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny”. Zanegowaniem tego zdania będzie wskazanie przynajmniej jednej liczby rzeczywistej, której kwadrat będzie ujemny. Zatem zaprzeczeniem powyższego zdania będzie: „Istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wartość ujemną”. Możemy więc wyciągnąć następujące wnioski:

Wniosek

Zaprzeczeniem zdania „dla każdego x zachodzi p(x)” jest zdanie „istnieje takie x, dla którego nie zachodzi p(x), czyli ~V_xp(.^x) <=> =ty~p(x).

Wniosek

Zaprzeczeniem zdania „istnieje takie x, że p(x)” jest zdanie „dla każdego x nie zachodzi p(x)”, czyli ~3*p(x) <=> V_x~p(x).

Kwantyfikatory mają ogromne znaczenie w formułowaniu twierdzeń matematycznych. Twierdzenia zapisywane z użyciem kwantyfikatora mają najczęściej formę zdaniową zapisaną w postaci implikacji, czyli: V_xp(x) => q(x). Taka postać nosi nazwę twierdzenia prostego, w którym p(x) jest jego założeniem, a q(x) - tezą.

Wykorzystując wiedzę związaną z prawami rachunku zdań, możemy mówić o twierdzeniu odwrotnym, czyli: V_xq(x) => p(x), twierdzeniu przeciwnym, czyli: V_x~p(x) => ~q(x) oraz twierdzeniu przeciwstawnym: V_x~q(x) => ~p(x).

Należy pamiętać, że jeżeli twierdzenie proste jest prawdziwe, to nie zawsze znaczy, że twierdzenie odwrotne jest prawdziwe. Tak jest w przypadku np. twierdzenie Talesa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa. Jeśli natomiast zajmować się będziemy twierdzeniem prostym: „Jeśli liczba jest podzielna przez 10, to jest podzielna przez 2”, które jest prawdziwe, to twierdzenie do niego odwrotne: „Jeśli liczba jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 10” jest oczywiście fałszywe (np. 4 jest podzielne przez 2, ale nie jest podzielne przez 10).

W przeciwieństwie do definicji twierdzenia matematyczne muszą być udowodnione. Twierdzenie matematyczne możemy dowodzić, stosując metodę wprost lub metodę nie wprost.

Metoda wprost polega na tym, że przyjmujemy za prawdziwe wszystkie założenia i, wykorzystując znane nam oraz udowodnione twierdzenia, prowadzimy logiczne rozumowanie, za pomocą którego wykazujemy prawdziwość tezy.

Metoda nie wprost polega na tym, że zakładamy fałszywość tezy dowodzonego twierdzenia i poprzez wykorzystywanie znanych i udowodnionych